一、armstrong公理系統設關係模式r，其中u為屬性集，f是u上的一組函式依賴，那麼有如下推理規則：
a1自反律：若y⊆x⊆u，則x→y為f所蘊含；
a2增廣律：若x→y為f所蘊含，且z⊆u，則xz→yz為f所蘊含；
a3傳遞律：若x→y，y→z為f所蘊含，則x→z為f所蘊含。
根據上面三條推理規則，又可推出下面三條推理規則：
合併規則：若x→y，x→z，則x→yz為f所蘊含；
偽傳遞規則：若x→y，wy→z，則xw→z為f所蘊含；
分解規則：若x→y，z⊆y，則x→z為f所蘊含。
引理：x→a1a2…ak成立的充分必要條件是x→ai成立(i=1,2,…,k)。
二、armstrong公理系統的證明
a1自反律：若y x u，則x→y為f所蘊含
證明1設y⊆x⊆u。
對r的任一關係r中的任意兩個元組t,s：
若t[x]=s[x]，由於y x，則有t[y]=s[y]，所以x→y成立，自反律得證。
a2增廣律：若x→y為f所蘊含，且z u，則xz→yz為f所蘊含
證明2設x→y為f所蘊含，且z⊆u。
對r的任一關係r中的任意兩個元組t,s：
若t[xz]=s[xz]，由於x ⊆xz，z⊆ xz，根據自反律，則有t[x]=s[x]和t[z]=s[z]；
由於x→y，於是t[y]=s[y]，所以t[yz]=s[yz]；所以xz→yz成立，增廣律得證。
a3傳遞律：若x→y，y→z為f所蘊含，則x→z為f所蘊含
證明3設x→y及y→z為f所蘊含。
對r的任一關係r中的任意兩個元組t,s：
若t[x]=s[x]，由於x→y，有t[y]=s[y]；
再由於y→z，有t[z]=s[z]，所以x→z為f所蘊含，傳遞律得證。
合併規則：若x→y，x→z，則x→yz為f所蘊含
證明4因x→y ，所以x→xy （增廣律 xx→xy即x→xy）
因x→z ，所以xy→yz （增廣律）
因x→xy，xy→yz
故x→yz （傳遞律）
偽傳遞規則：若x→y，wy→z，則xw→z為f所蘊含
證明5因x→y ，所以wx→wy （增廣律）
因wy→z ，所以xw→z （傳遞律）
分解規則：若x→y，z∈y，則x→z為f所蘊含
證明6因z∈y 所以y→z （自反律）
因x→y 所以x→z （傳遞律）
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