「選擇公理」（axiom of choice）對一般人來說，也許從來沒有聽過；即使是對念數理科的學生來說也可能從來未接觸過，多是聽多於用。但這條「選擇公理」卻是一條困擾整個數學界多年的公理，而它的合理性方面，至今也沒有乙個定論。有些人認為它是明顯之至，簡單得很。但當細味其內容及其用途時，不單發現它妙用無窮，而且會開始質疑自己對這條公理的理解程度，甚至開始懷疑這條公理的真確性。「選擇公理」便是如此的一條令人迷惑的公理，現在我們一同看看它究竟是甚麼。
「選擇公理」有很多等價的形式（equivalent form），以下用乙個較簡單的描述：
選擇公理 設c為乙個由非空集合所組成的集合。那麼，我們可以從每乙個在c中的集合中，都選擇乙個元素來組成乙個新的集合。
為令讀者有進一步的了解，以下是一些例子：
1. 如果c為的所有非空子集的集合，那麼，我們可以定義乙個新集合，使得它的元素為每乙個在c中的集合的最小元素。
2a. 如果c為所有長度有限而非零的實數區間，那麼，我們可以定義乙個新集合，使得它的元素為每乙個c中的區間的中間點。
看來也算是合理，但以上的例可能較數學化、較難理解，現在再用個較實在的例子，
3a. 如果在前面放了放置了幾堆蘋果。那麼，我們可以在每堆中選取乙個蘋果，再把它們放在新的一堆內。
看了這個例子，可能令你更加明白，不過要留意的是所謂「幾堆」，可能是無限堆，而每堆蘋果也可能是有無限個的，那麼，可以換成
3b. 如果在前面放了放置了無限堆蘋果，而每堆蘋果也有無限個。那麼，我們可以在每堆中選取乙個蘋果，再把它們放在新的一堆內。
這個便是「選擇公理」。看來也很合理，既然每一堆也是有蘋果的，當然可以在每一堆中選擇乙個蘋果出來，不論每堆的蘋果數目的多少，和堆數的多少，「應該」也能做到。
但在這堆蘋果中，究竟選擇那乙個呢？或許有人會說：「隨便乙個便可！」但甚麼是「隨便」呢？可否具體點陳述出來呢？這個「隨便」的方法是否必然存在呢？如果數學化點看問題，根據「選擇公理」，
2b. 如果c為所有長度非零的實數區間，那麼，我們可以定義乙個新集合，使得它的元素為每乙個c中的區間中的點。
如果仔細的看2b，「每乙個c中的區間中的點」，那一點呢？最大的那一點？最小的那一點？中間的那一點？通通也不存在，因為「長度非零的實數區間」是包括了長度無限的區間，那便可能沒有了所謂「最大」、「最小」或「中間」等概念。那麼，如何具體地陳述出方法呢？這個方法會不會不存在呢？
可能有人認為，即使是不能陳述出方法，也不能否定或放棄這公理，因為在數學上有很多「存在性定理」（existence theorems），都是只指出某事件的存在性，而不能具體描述尋求的方法，例如：中值定理（mean value theorem）及洛爾定理（rolle's theorem），都是已證明是真確的存在性定理，所以只要能證明這公理是真確，便可以繼續使用。
另外，不能具體陳述出方法，也有可能是括限於人類在語言上的障礙，也即是說，只是不能用人類的語言表達而已，正如最偉大的文學家，也只是用他們認為最適當的語句來表達，可能受到語言限制，不能完全反映他們內心的思想，正所謂「不能言喻」。
但「選擇公理」當然不是這般簡單，它的不可思議，它的奇妙用法，以及它所導致的結果，到現在才是開始。
要證明選擇公理，並非一件容易的事，其中乙個原因是選擇公理不單是一條簡單的數學命題，而是牽涉較基層的數學──集合論。而集合論正就是數學的基礎理論，所以在證明時，工具也會較少。
不少的數學家曾也嘗試證明選擇公理，他們希望用最基本的工具來作證明，但往往在這些證明中，都用了一些並不基本的理論，例如：「良序原理」（well-ordering principle）及「佐恩引理」（zorn's lemma），
良序原理 所有集合也是良序集。換句話說，對每乙個集合來說，都存在一種排序方法，使得它的所有子集也有極小元素。
佐恩引理 若一偏序集是歸納序集，那麼，它必然存在最大元素。換句話說，如果在乙個偏序集的每一條鍊中都存在著上界，這偏序集必存在最大元素。
這些理論，即使只是從字面的解釋，也不容易判斷它的真確性，而事實上，「良序原理」及「佐恩引理」是不能用基本工具證明的。直至現時為此，也沒有人能用基本工具來證明「選擇公理」。
更有趣的結果是原來「選擇公理」、「良序原理」及「佐恩引理」都是等價的命題，也就是說它們是在描述同一樣的事件。多年以來，所發現的「選擇公理」的等價命題實在不少，網主並沒有統計過，某些的書籍可寫出約30個等價命題，網主亦蒐集了部分等價命題（英文版）可供網友參考，而人類只是在這些命題與命題間兜兜轉轉。
由此可知，要在數學上證明或否證「選擇公理」並非易事，所以數學家便轉移目標，從邏輯系統中看看它的相容性。而事實上，經證明所得，現在我們常用的zf公理系統與「選擇公理」是相容的，也就是說用zf公理系統不能得出「選擇公理」的邏輯矛盾。如果我們選擇接納「選擇公理」，則便有一套包含「選擇公理」的公理系統，一般稱「zfc公理系統」；否則，便不接納它在公理系統之內，在能把它證明之前，也不能接受它是一「定理」。
不過，這個爭論依然未完，因為對於這條公理不只是接納和不接納的問題，如果放棄這條公理，有很多美好且乎合「常理」的結果會同時被放棄；但它實際上又與很多「常理」大不協調。
其中乙個為人熟識的不合乎常理的結果是「巴拿赫─塔斯基誖論」（banach-tarski paradox），或稱「分球問題」。這個誖論可以說是違反了物理學定律，因為這個誖論說可以把乙個單位球體（半徑為1）分成有限份，最少可分成五份，然後透過一些剛體運動，即旋轉和平移，再重新組合，不過在組合後，竟然成為兩個單位球體，也即是體積增加了一倍，而這個誖論的證明是必須利用到「選擇公理」的。也就是說，如果我們選擇接納「選擇公理」，則「巴拿赫─塔斯基誖論」便是一條定理，但現實中有這個可能嗎？
這其實也是牽涉另乙個數學概念──可測集合（measurable set）。「巴拿赫─塔斯基誖論」便是存在不可測集合的結果。如果我們接納「選擇公理」，則我們必須接納不可測集合。若我們不接納「選擇公理」，則可設所有集合皆是「勒貝格可測的」（lebesgue measurable），而這個假設也可能是較合乎常理。
總括而言，「選擇公理」是一條十分爭議性的命題，一般的數學家都接受這條公理，因為可以從而得出很多有用的結果，反正使用這公理是沒有邏輯矛盾的。但對於邏輯家或集合論家來說，這是乙個必須解決的問題，有些人會建議用較弱的「可數選擇公理」（countable choice）來代替，而確實有很多結果是可以利用可數選擇公理來證明的，不過這樣只是暫時迴避問題，而且依然有些結果是必須用到「選擇公理」的。
著名哲學家兼數學家羅素（bertrand russell）曾說過：「由無限對襪子中，每對選擇乙隻出來的話，我們需要『選擇公理』，但如果換轉是鞋的話，那便不必了。」因為鞋是可以分左右的，襪子則兩隻沒甚麼分別，不知如何選擇。另外，如果只得有限對襪子，在邏輯上是可以不用「選擇公理」的。
邦拿（jerry bona）也曾說過：「『選擇公理』明顯是正確的；『良序原理』明顯是不正確的；『佐思引理』又有誰可決定呢？」這個雖然是乙個笑話，但從此可知道人的直覺並不一定跟從數學的思維。在數學上，這三個命題是等價的，但對於「選擇公理」，很多數學家也直覺它是正確的；對於「良序原理」，很多數學家也認為存在問題；對於「佐思引理」則複雜得很多數學家也不能單憑直覺作判斷。
「選擇公理」確是一條謎樣的公理，雖然看似十分顯淺，但卻有奇妙的功能，甚至有超乎常理的結果。有些人對它投以信任一票，有些人則抱懷疑態度。有關這條公理的討論和研究，相信還會繼續，那便看看數學家如何把它解決。最後，網主用羅素的一句話作結束，他在談及「選擇公理」時曾說：
「起先它似乎是明白的；但你愈多思考它，由這公理得出的推論就好像變得愈奇怪；最後你完全不明白它的意思到底是甚麼了。」
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