最近又重新迷上了數學，感覺需要重新溫習一下這個從小學一年級就開始學習的學科。
由於資質有限，大學從本科到博士畢業用了十年，對所學的各個數學學科的具體知識點大多已經淡忘，但一直堅持對數學思想體系的探求，可是苦於一直不得法（老是忙著寫程式了），僅僅從這麼多年（從小學開始）的經驗覺得「公理-> 推演-> 定理」這是個數學各個分支都使用的思想體系。
最近看了希爾伯特的《數學問題》，才發現這就是所謂的「公理系統」。簡而言之，「公理系統」理論認為所有的數學分支都具有一組公理，其餘定理都可以基於這組公理通過某種推演規則（如希爾伯特演繹系統） 證明。第乙個最為人們熟知的公理系統就是「歐式幾何」。
那麼，是否存在乙個有限而完備的公理系統，使得每個數學分支的所有問題都可以通過這些公理來證明？如果存在，那麼只要為這個數學分支建立乙個公理系統就行了，同時也說明任乙個數學分支都是完備的。但如果不存在，那麼所建立的公理系統只能是區域性完備的，有些問題就必須使用系統外的知識來處理。
偉大的哥德爾證明了：每個數學分支中總會存在一些命題，我們既無法證明它是對的，也不能證明它的反面是錯的（即證偽）。同時證明了一致性與完備性不可兼得。這個結論使得那些想為數學建立乙個完備的公理體系的願望破滅了。
題外話：
感覺以前接受之數學教育太過於膚淺，小學、中學老師沒有這個水平尚可理解，大學老師仍是填鴨試的教學，課題上傳授的仍是乙個個零散的知識點，沒有體系，更沒有思想！
參考：
公理系統
希爾伯特演繹系統
哥德爾不完備定理
Armstrong公理系統
一 armstrong公理系統設關係模式r，其中u為屬性集，f是u上的一組函式依賴，那麼有如下推理規則 a1自反律 若y x u，則x y為f所蘊含 a2增廣律 若x y為f所蘊含，且z u，則xz yz為f所蘊含 a3傳遞律 若x y，y z為f所蘊含，則x z為f所蘊含。根據上面三條推理規則，又...
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