若給定序列x=，則另一串行z=，是x的子串行是指存在乙個嚴格遞增下標序列使得對於所有j=1,2,…,k有：zj=xij。
例如，序列z=是序列x=的子串行，相應的遞增下標序列為。
給定2個序列x和y，當另一串行z既是x的子串行又是y的子串行時，稱z是序列x和y的公共子串行。
給定2個序列x=和y=，找出x和y的最長公共子串行。
1.最長公共子串行的結構
設序列x=和y=的最長公共子串行為z= ，則
若xm=yn，則zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最長公共子串行。
若xm≠yn且zk≠xm，則z是xm-1和y的最長公共子串行。
若xm≠yn且zk≠yn，則z是x和yn-1的最長公共子串行。
2個序列的最長公共子串行包含了這2個序列的字首的最長公共子串行。
最長公共子串行問題具有最優子結構性質。
2.子問題的遞迴結構
由最長公共子串行問題的最優子結構性質可知，要找出x和y的最長公共子串行，可按以下方式遞迴地進行：
當xm＝yn時，找出xm－1和yn－1的最長公共子串行，然後在其尾部加上xm（＝yn）即可得x和y的乙個最長公共子串行。
當xm≠yn時，必須解兩個子問題，即找出xm－1和y的乙個最長公共子串行及x和yn－1的乙個最長公共子串行。這兩個公共子串行中較長者為x和y的乙個最長公共子串行。
用c[i][j]記錄序列和的最長公共子串行的長度。
xi=；yj=。
當i=0或j=0時，空序列是xi和yj的最長公共子串行。故此時c[i][j]=0。
其它情況下，由最優子結構性質可建立遞迴關係如下：
3.計算最優值
#define num 100
int c[num]
[num]
;int b[num]
[num]
;void lcslength (
int m,
int n,
const
char x,
char y)
//↖else
if(c[i-1]
[j]>=c[i]
[j-1])
//↑else
//←}
}
void
lcs(
int i,
int j,
char x)
else
if(b[i]
[j]==2)
lcs(i-
1,j,x)
;else
lcs(i,j-
1,x)
;}
當所有整數均為負值時定義其最大子段和為0。
演算法
#define num 1001
int a[num]
;int
maxsum
(int n)
return sum;
}
動態規劃5
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