動態規劃法C 實現最大k乘積問題

最大k乘積問題

問題描述

設i是乙個n位十進位制整數。如果將i劃分為k段，則可得到k個整數。這k個整數的乘積稱為i的乙個k乘積。試設計乙個演算法，對於給定的i和k，求出i的最大k乘積。

例如十進位制整數 1234 劃分為 3 段可有如下情形：

1 × 2 × 34 = 68

1 × 23 × 4 = 92

12 × 3 × 4 = 144

程式設計任務

對於給定的i 和k，程式設計計算i 的最大k 乘積。

資料輸入

輸入的第1 行中有2個正整數n和k。正整數n是序列的長度；正整數k是分割的段數。接下來的一行中是乙個n位十進位制整數。（n<=10）

結果輸出

計算出的最大k乘積。

輸入檔案示例輸出檔案示例

input.txt output.txt

3 2312 62

問題分析

首先用反證法證明最大k乘積問題具有最優子結構性質，從而證明該題目適合使用動態規劃法：

（1）假設n位十進位制整數i的最大k乘積記為f（n，k），前k-1段總共是m位，且1<=mf(m,k-1), 左右兩邊同時乘以i(m,n-m)得h(m,k-1)*i(m,n-m)>f(m,k-1)*i(m,n-m)=f(n,k) 即f(n,k)不是i的最大k乘積與最初的假設相矛盾。

(3)所以f(m,k-1)是前面m位十進位制整數的最大k-1乘積，即最大k乘積問題具有最優子結構性質。這說明可以使用動態規劃來求解。

演算法步驟：

（1）1.1設temparr(h,k) 表示: 從第h位到第k位所組成的十進位制數

1.2設dp(i,j)表示前i位(1-i)分成j段所得的最大乘積,

1.3arr陣列儲存給定的n個數字；

1.4首先將連續數字第i位到第j位表示的十進位制數放在temparr陣列，dp[i][j]代表前i位有j個乘號。

（2）寫出動態方程：

如果只分成一段，那麼dp[i][1]=temparr[1][i];

否則：前i位(1~i)數字分j組乘積的最大值等於分為j-1組的結果再乘以乙個後面剩下的數字組成所代表的的十進位制數。

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*temparr[k+1][i]); 1<=k#include

#include

#define max 20

using

namespace std;

//數字的位數

int n =0;

//分成k段

int k =0;

//給定的數字

int value =0;

//儲存給定陣列的每乙個數字

int* arr =

null

;//儲存k乘積最大值

int arr2d[max]

[max]

;//臨時存放第i個到第j個數字表示的十進位制數

int temparr[max]

[max];/*

讀取給定的data.txt檔案的資料

讀取第一行的n , k

第二行的數字並將每乙個陣列儲存到arr陣列中

*/void

readtextdata()

else

if(count ==1)

else

if(count ==2)

else

fla =

true

;break;}

}}}if

(fla ==

true)}

cout <<

"輸入的資料為："

;for

(int i =

0; i < n; i++

) cout << endl;

ifs.

close()

;}else}/*

@to do:將讀取到的value從第i個到第j個數字表示的十進位制值儲存到乙個陣列中

*/void

init()

for(

int i =

1; i <= n; i++)}

}int

getvalue()

//列舉乘號位置

for(

int k =

1; k < i; k++)}

}//返回最終結果

return arr2d[n]

[k-1];

}int

main()

當data.txt檔案輸入為：

輸出結果：

實驗分析：

根據演算法我們知道使用了乙個一維陣列arr，兩個二維陣列temparr和dp，所以該演算法的空間複雜度為o(nn)，在函式init（）初始化過程中，使用了兩個巢狀的for迴圈，時間複雜度為o(nn)，在getvalue（）函式中，使用了三個for迴圈，時間複雜度為o（nnn）,所以該演算法的時間複雜度為o（nnn）

動態規劃法C 實現最大k乘積問題

TSP問題，動態規劃法

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