遞推法的概念：
遞推法是一種重要的數學方法，在數學的各個領域中都有廣泛的運用，也是計算機用於數值計算的乙個重要演算法。這種演算法特點是：乙個問題的求解需一系列的計算，在已知條件和所求問題之間總存在著某種相互聯絡的關係，在計算時，如果可以找到前後過程之間的數量關係（即遞推式），那麼，從問題出發逐步推到已知條件，此種方法叫逆推。無論順推還是逆推，其關鍵是要找到遞推式。這種處理問題的方法能使複雜運算化為若干步重複的簡單運算，充分發揮出計算機擅長於重複處理的特點。
遞推演算法的首要問題是得到相鄰的資料項間的關係（即遞推關係）。遞推演算法避開了求通項公式的麻煩，把乙個複雜的問題的求解，分解成了連續的若干步簡單運算。一般說來，可以將遞推演算法看成是一種特殊的迭代演算法。
【例1】數字三角形。如下所示為乙個數字三角形。請編乙個程式計算從頂到底的某處的一條路徑，使該路徑所經過的數字總和最大。只要求輸出總和。
1、 一步可沿左斜線向下或右斜線向下走；
2、 三角形行數小於等於100；
3、 三角形中的數字為0，1，…，99；
測試資料通過鍵盤逐行輸入，如上例資料應以如下所示格式輸入：57
3 88 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
【演算法分析】
此題解法有多種，從遞推的思想出發，設想，當從頂層沿某條路徑走到第i層向第i+1層前進時，我們的選擇一定是沿其下兩條可行路徑中最大數字的方向前進，為此，我們可以採用倒推的手法，設a[i][j]存放從i,j 出發到達n層的最大值，則a[i][j]=max，a[1][1] 即為所求的數字總和的最大值。
【參考程式】
#include
using
namespace std;
intmain()
cout<
[1]<
}
程式如下：
#include
#include
using
namespace std;
intmain()
printf
("%d\n"
,f2)
;return0;
}
有關fibonacci數列，我們先來考慮乙個簡單的問題：樓梯有n個台階，上樓可以一步上一階，也可以一步上兩階。一共有多少種上樓的方法？ 這是一道計數問題。在沒有思路時，不妨試著找規律。n=5時，一共有8種方法：5=1+1+1+1+15=2+1+1+15=1+2+1+15=1+1+2+15=1+1+1+25=2+2+15=2+1+25=1+2+2 其中有5種方法第1步走了1階(背景灰色)，3種方法第1步走了2階，沒有其他可能。假設f(n)為n個台階的走法總數，把n個台階的走法分成兩類。 第1類：第1步走1階，剩下還有n-1階要走，有f(n-1)種方法。 第2類：第1步走2階，剩下還有n-2階要走，有f(n-2)種方法。 這樣，就得到了遞推式：f(n)=f(n-1)+f(n-2),不要忘記邊界情況：f(1)=1,f(2)=2。把f(n)的前幾項列出：1，2，3，5，8，……。 再例如，把雌雄各一的一對新兔子放入養殖場中。每只雌兔在出生兩個月以後，每月產雌雄各一的一對新兔子。試問第n個月後養殖場中共有多少對兔子。
【例3】 有 2χn的乙個長方形方格，用乙個1*2的骨牌鋪滿方格。
編寫乙個程式，試對給出的任意乙個n(n>0), 輸出鋪法總數。
【演算法分析】
（1）面對上述問題，如果思考方法不恰當，要想獲得問題的解答是相當困難的。可以用遞推方法歸納出問題解的一般規律。
（2）當n=1時，只能是一種鋪法，鋪法總數有示為x1=1。
（3）當n=2時：骨牌可以兩個並列豎排，也可以並列橫排，再無其他方法，如下左圖所示，因此，鋪法總數表示為x2=2；
（4）當n=3時：骨牌可以全部豎排，也可以認為在方格中已經有乙個豎排骨牌，則需要在方格中排列兩個橫排骨牌（無重複方法），若已經在方格中排列兩個橫排骨牌，則必須在方格中排列乙個豎排骨牌。如上右圖，再無其他排列方法，因此鋪法總數表示為x3=3。
由此可以看出，當n=3時的排列骨牌的方法數是n=1和n=2排列方法數的和。
（5）推出一般規律：對一般的n，要求xn可以這樣來考慮，若第乙個骨牌是豎排列放置，剩下有n-1個骨牌需要排列，這時排列方法數為xn-1；若第乙個骨牌是橫排列，整個方格至少有2個骨牌是橫排列（1*2骨牌），因此剩下n-2個骨牌需要排列，這是骨牌排列方法數為xn-2。從第一骨牌排列方法考慮，只有這兩種可能，所以有：
xn=xn-1+xn-2 （n>2）
x1=1
x2=2
xn=xn-1+xn-2就是問題求解的遞推公式。任給n都可以從中獲得解答。例如n=5，
x3=x2+x1=3
x4=x3+x2=5
x5=x4+x3=8
下面是輸入n，輸出x1~xn的c++程式：
#include
using
namespace std;
intmain()
}
下面是執行程式輸入 n=30，輸出的結果：
input n: 30
x[1]=1
x[2]=2
x[3]=3
…x[29]=832040
x[30]=1346269
問題的結果就是有名的斐波那契數。
【例4】昆蟲繁殖
【問題描述】
科學家在熱帶森林中發現了一種特殊的昆蟲，這種昆蟲的繁殖能力很強。每對成蟲過x個月產y對卵，每對卵要過兩個月長成成蟲。假設每個成蟲不死，第乙個月只有一對成蟲，且卵長成成蟲後的第乙個月不產卵(過x個月產卵)，問過z個月以後，共有成蟲多少對？0=#include
using
namespace std;
intmain()
,b[101]=
,i,j,x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
for(i=
1;i<=x;i++
)for
(i=x+
1;i<=z+
1;i++
)//因為要統計到第z個月後，所以要for到z+1
cout<
<
return0;
}```【例5】位數問題
【問題描述】
在所有的n位數中，有多少個數中有偶數個數字3？由於結果可能很大，你只需要輸出這個答案對12345取餘的值。
【輸入格式】
讀入乙個數n
【輸出格式】
輸出有多少個數中有偶數個數字3。
【輸入樣例】
2【輸出樣例】
73【資料規模】
1<=n<=
1000
【樣例說明】
在所有的2位數字，包含0個3的數有72個，包含2個3的數有1個，共73個
【參考程式】
```cpp
#include
using
namespace std;
intmain()
cout<
];return0;
}
演算法設計與分析2 遞推演算法
遞推法是一種重要的數學方法。這種演算法特點是 乙個問題的求解需一系列的計算，在已知條件和所求問題之間總存在著某種相互聯絡的關係，在計算時，如果可以找到前後過程之間的數量關係 即遞推式 那麼，從問題出發逐步推到已知條件，此種方法叫逆推。無論順推還是逆推，其關鍵是要找到遞推式。遞推演算法的首要問題是得到...
演算法設計與分析 遞推演算法及例題
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演算法設計與分析 第二章 遞推演算法
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