先驗概率
prior probability
在貝葉斯統計中，先驗概率分布，即關於某個變數 p 的概率分布，是在獲得某些資訊或者依據前，對 p 的不確定性進行猜測。例如， p 可以是搶火車票開始時，搶到某一車次的概率。這是對不確定性（而不是隨機性）賦予乙個量化的數值的表徵，這個量化數值可以是乙個引數，或者是乙個潛在的變數。
先驗概率僅僅依賴於主觀上的經驗估計，也就是事先根據已有的知識的推斷，
在應用貝葉斯理論時，通常將先驗概率乘以似然函式（likelihoodfunction）再歸一化後，得到後驗概率分布，後驗概率分布即在已知給定的資料後，對不確定性的條件分布。
似然函式
似然函式（likelihood function），也稱作似然，是乙個關於統計模型引數的函式。也就是這個函式中自變數是統計模型的引數。對於結果 x ，在引數集合 θ 上的似然，就是在給定這些引數值的基礎上，觀察到的結果的概率 l(θ|x)=p(x|θ) 。也就是說，似然是關於引數的函式，在引數給定的條件下，對於觀察到的 x 的值的條件分布。
似然函式在統計推測中發揮重要的作用，因為它是關於統計引數的函式，所以可以用來評估一組統計的引數，也就是說在一組統計方案的引數中，可以用似然函式做篩選。在非正式的語境下，「似然」會和「概率」混著用；但是嚴格區分的話，在統計上，二者是有不同。
不同就在於，觀察值 x 與引數 θ 的不同的角色。概率是用於描述乙個函式，這個函式是在給定引數值的情況下的關於觀察值的函式。例如，已知乙個硬幣是均勻的（在拋落中，正反面的概率相等），那連續10次正面朝上的概率是多少？這是個概率。
而似然是用於在給定乙個觀察值時，關於用於描述引數的情況。例如，如果乙個硬幣在10次拋落中正面均朝上，那硬幣是均勻的（在拋落中，正反面的概率相等）概率是多少？這裡用了概率這個詞，但是實質上是「可能性」，也就是似然了。
後驗概率
posterior probability
後驗概率是關於隨機事件或者不確定性斷言的條件概率，是在相關證據或者背景給定並納入考慮之後的條件概率。後驗概率分布就是未知量作為隨機變數的概率分布，並且是在基於實驗或者調查所獲得的資訊上的條件分布。「後驗」在這裡意思是，考慮相關事件已經被檢視並且能夠得到一些資訊。
後驗概率是關於引數 θ 在給定的證據資訊 x 下的概率： p(θ|x) 。
若對比後驗概率和似然函式，似然函式是在給定引數下的證據資訊 x 的概率分布： p(x|θ) 。
二者有如下關係：
我們用 p(θ) 表示概率分布函式，用 p(x|θ) 表示觀測值 x 的似然函式。後驗概率定義如下：
p(θ|x)=p(x|θ)p(θ)p(x)
鑑於分母不變，可以表達成如下正比關係：
posteriorprobability∝likelihood×prior probability
來先舉乙個例子：
如果有一所學校，有60%是男生和40%是女生。女生穿褲子與裙子的數量相同；所有男生穿褲子。乙個觀察者，隨機從遠處看到一名學生，觀察者只能看到該學生穿褲子。那麼該學生是女生的概率是多少？這裡題目中觀察者比如近似眼看直接不清性別，或者從裝扮上看不出。答案可以用貝葉斯定理來算。
用事件 g 表示觀察到的學生是女生，用事件 t 表示觀察到的學生穿褲子。於是，現在要計算 p(g|t) ，我們需要知道：
p(g) ，表示乙個學生是女生的概率，這是在沒有任何其他資訊下的概率。這也就是我們說的先驗概率。由於觀察者隨機看到一名學生，意味著所有的學生都可能被看到，女生在全體學生中的佔比是 40 ，所以概率是 0.4 。
p(b) ，是學生不是女生的概率，也就是學生是男生的概率，也就是在沒有其他任何資訊的情況下，學生是男生的先驗概率。 b 事件是 g 事件的互補的事件，這個比例是 60 ，也即 0.6 。
p(t|g) 是在女生中穿褲子的概率，根據題目描述，是相同的 0.5 。這也是 t 事件的概率，given g 事件。
p(t|b) 是在男生中穿褲子的概率，這個值是1。
p(t) 是學生穿褲子的概率，即任意選乙個學生，在沒有其他資訊的情況下，ta穿褲子的概率。如果要計算的話，那可以計算出所有穿褲子的學生的數量，除以總數，總數可以假設為常數 c ，但是最後會被約去。或者根據全概率公式 p(t)=p(t|g)p(g)+p(t|b)p(b) 計算得到 p(t)=0.5×0.4+1×0.6=0.8 。
基於以上所有資訊，如果觀察到乙個穿褲子的學生，並且是女生的概率是
p(g|t)=p(t|g)p(g)p(t)=0.5×0.40.8=0.25.
這就是貝葉斯公式的乙個示例，如果是兩個相關的屬性，我們只知道其中一些的概率分布情況，就可以根據貝葉斯公式來計算其他的一些後驗概率的情況。
極大似然估計和貝葉斯估計
極大似然估計和貝葉斯估計分別代表了頻率派和貝葉斯派的觀點。頻率派認為，引數是客觀存在的，只是未知而矣。因此，頻率派最關心極大似然函式，只要引數求出來了，給定自變數x，y也就固定了，極大似然估計如下所示:
d表示訓練資料集，
相反的，貝葉斯派認為引數也是隨機的，和一般隨機變數沒有本質區別，正是因為引數不能固定，當給定乙個輸入x後，我們不能用乙個確定的y表示輸出結果，必須用乙個概率的方式表達出來，所以貝葉斯學派的**值是乙個期望值，如下所示：
其中x表示輸入，y表示輸出，d表示訓練資料集，
該公式稱為全貝葉斯**。現在的問題是如何求
可惜的是，上面的後驗概率通常是很難計算的，因為要對所有的引數進行積分，不能找到乙個典型的閉合解（解析解）。在這種情況下，我們採用了一種近似的方法求後驗概率，這就是最大後驗概率。
最大後驗概率和極大似然估計很像，只是多了一項先驗分布，它體現了貝葉斯認為引數也是隨機變數的觀點，在實際運算中通常通過超引數給出先驗分布。
從以上可以看出，一方面，極大似然估計和最大後驗概率都是引數的點估計。在頻率學派中，引數固定了，**值也就固定了。最大後驗概率是貝葉斯學派的一種近似手段，因為完全貝葉斯估計不一定可行。另一方面，最大後驗概率可以看作是對先驗和mle的一種折衷，如果資料量足夠大，最大後驗概率和最大似然估計趨向於一致，如果資料為0,最大後驗僅由先驗決定。
**：
先驗概率 後驗概率 似然函式
以下以因果關係來刻畫先驗概率 後驗概率以及似然概率的關係。先驗概率 根據經驗得到的結果的概率 已知結果 後驗概率 在知道原因的情況下，求結果發生的概率 執因求果 似然概率 知道結果的情況下，求最可能導致結果發生的原因 知果求因 舉個例子 已知車禍有一定概率會導致堵車，此處車禍是因，堵車是果。p 堵車...
先驗概率 似然函式與後驗概率
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先驗概率 似然函式與後驗概率
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