53 最大子序和

給定乙個整數陣列 nums ，找到乙個具有最大和的連續子陣列（子陣列最少包含乙個元素），返回其最大和。

示例:輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

輸出: 6

解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

高階:如果你已經實現複雜度為 o(n) 的解法，嘗試使用更為精妙的分治法求解。

方法一：動態規劃

思路和演算法

假設 nums 陣列的長度是 n，下標從 0 到 n - 1。我們用 ai代表 nums[i]，用 f(i)代表以第 i 個數結尾的「連續子陣列的最大和」，那麼很顯然我們要求的答案就是：

max(0<=i<=n-1)

因此我們只需要求出每個位置的 f(i)，然後返回 f 陣列中的最大值即可。那麼我們如何求 f(i)呢？我們可以考慮ai單獨成為一段還是加入 f(i - 1)對應的那一段，這取決於 ai和 f(i - 1) + ai的大小，我們希望獲得乙個比較大的，於是可以寫出這樣的動態規劃轉移方程：

f(i) = max

不難給出乙個時間複雜度 o(n)、空間複雜度 o(n) 的實現，即用乙個 f 陣列來儲存 f(i)的值，用乙個迴圈求出所有 f(i)。考慮到 f(i)只和 f(i - 1)相關，於是我們可以只用乙個變數 pre 來維護對於當前 f(i)的 f(i - 1)的值是多少，從而讓空間複雜度降低到 o(1)，這有點類似「滾動陣列」的思想。

class solution 
return max;
}}

方法二：分治

思路和演算法

這個分治方法類似於「線段樹求解 lcis 問題」的 pushup 操作。也許讀者還沒有接觸過線段樹，沒有關係，方法二的內容假設你沒有任何線段樹的基礎。當然，如果讀者有興趣的話，推薦看一看線段樹區間合併法解決多次詢問的「區間最長連續上公升序列問題」和「區間最大子段和問題」，還是非常有趣的。

我們定義乙個操作 get(a, l, r) 表示查詢 aa 序列 [l, r][l,r] 區間內的最大子段和，那麼最終我們要求的答案就是 get(nums, 0, nums.size() - 1)。如何分治實現這個操作呢？對於乙個區間 [l, r][l,r]，我們取 m = \lfloor \frac \rfloorm=⌊

2l+r

⌋，對區間 [l, m][l,m] 和 [m + 1, r][m+1,r] 分治求解。當遞迴逐層深入直到區間長度縮小為 11 的時候，遞迴「開始回公升」。這個時候我們考慮如何通過 [l, m][l,m] 區間的資訊和 [m + 1, r][m+1,r] 區間的資訊合併成區間 [l, r][l,r] 的資訊。最關鍵的兩個問題是：

我們要維護區間的哪些資訊呢？

我們如何合併這些資訊呢？

對於乙個區間 [l, r][l,r]，我們可以維護四個量：

lsum 表示 [l, r][l,r] 內以 ll 為左端點的最大子段和

rsum 表示 [l, r][l,r] 內以 rr 為右端點的最大子段和

msum 表示 [l, r][l,r] 內的最大子段和

isum 表示 [l, r][l,r] 的區間和

以下簡稱 [l, m][l,m] 為 [l, r][l,r] 的「左子區間」，[m + 1, r][m+1,r] 為 [l, r][l,r] 的「右子區間」。我們考慮如何維護這些量呢（如何通過左右子區間的資訊合併得到 [l, r][l,r] 的資訊）？對於長度為 11 的區間 [i, i][i,i]，四個量的值都和 a_ia

相等。對於長度大於 11 的區間：

首先最好維護的是 isum，區間 [l, r][l,r] 的 isum 就等於「左子區間」的 isum 加上「右子區間」的 isum。

對於 [l, r][l,r] 的 lsum，存在兩種可能，它要麼等於「左子區間」的 lsum，要麼等於「左子區間」的 isum 加上「右子區間」的 lsum，二者取大。

對於 [l, r][l,r] 的 rsum，同理，它要麼等於「右子區間」的 rsum，要麼等於「右子區間」的 isum 加上「左子區間」的 rsum，二者取大。

當計算好上面的三個量之後，就很好計算 [l, r][l,r] 的 msum 了。我們可以考慮 [l, r][l,r] 的 msum 對應的區間是否跨越 mm——它可能不跨越 mm，也就是說 [l, r][l,r] 的 msum 可能是「左子區間」的 msum 和「右子區間」的 msum 中的乙個；它也可能跨越 mm，可能是「左子區間」的 rsum 和「右子區間」的 lsum 求和。三者取大。

class solution ;
status pushup(status l, status r) ;
};status get(vector&a, int l, int r) ;
int m = (l + r) >> 1;
status lsub = get(a, l, m);
status rsub = get(a, m + 1, r);
return pushup(lsub, rsub);
}int maxsubarray(vector& nums) 
};

複雜度分析

假設序列 aa 的長度為 nn。

時間複雜度：假設我們把遞迴的過程看作是一顆二叉樹的先序遍歷，那麼這顆二叉樹的深度的漸進上界為 o(\log n)o(logn)，這裡的總時間相當於遍歷這顆二叉樹的所有節點，故總時間的漸進上界是 o(\sum_^ 2^) = o(n)o(∑

i=1logn

2 i−1

)=o(n)，故漸進時間複雜度為 o(n)o(n)。

空間複雜度：遞迴會使用 o(\log n)o(logn) 的棧空間，故漸進空間複雜度為 o(\log n)o(logn)。

題外話

53 最大子序和

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