二演算法之始動態規劃

一切演算法理論都是為了解決實際問題，直接講解演算法理論很難理解，我們結合實際問題來深刻理解動態規劃的奇妙。

題目：給定乙個字串s，找到s中最長的回文子串。你可以假設s的最大長度為 1000。

示例1：

輸入: "babad" 輸出: "bab" 注意: "aba" 也是乙個有效答案。

示例2：

輸入: "cbbd" 輸出: "bb"

解題思路：本題最容易想到的一種方法應該就是中心擴散法。

中心擴散法怎麼去找回文串？

從每乙個位置出發，向兩邊擴散即可。遇到不是回文的時候結束。舉個例子，str = acdbbdaastr=acdbbdaa 我們需要尋找從第乙個 b（位置為 33）出發最長回文串為多少。怎麼尋找？

首先往左尋找與當期位置相同的字元，直到遇到不相等為止。

然後往右尋找與當期位置相同的字元，直到遇到不相等為止。

最後左右雙向擴散，直到左和右不相等。如下圖所示：

每個位置向兩邊擴散都會出現乙個視窗大小（len）。如果 len>maxlen(用來表示最長回文串的長度）。則更新 maxlen 的值。

因為我們最後要返回的是具體子串，而不是長度，因此，還需要記錄一下 maxlen 時的起始位置（maxstart），即此時還要 maxstart=len。

public string longestpalindrome1(string s) 
int strlen = s.length();
int left = 0;
int right = 0;
int len = 1;
int maxstart = 0;
int maxlen = 0;
for (int i = 0; i < strlen; i++) 
while (right < strlen && s.charat(right) == s.charat(i)) 
while (left >= 0 && right < strlen && s.charat(right) == s.charat(left)) 
if (len > maxlen) 
len = 1;
}return s.substring(maxstart + 1, maxstart + maxlen + 1);
}

優化：

中心擴散的方法，其實做了很多重複計算。動態規劃就是為了減少重複計算的問題。動態規劃聽起來很高大上。其實說白了就是空間換時間，將計算結果暫存起來，避免重複計算。作用和工程中用 redis 做快取有異曲同工之妙。

我們用乙個 boolean dp[l][r] 表示字串從 i 到 j 這段是否為回文。試想如果 dp[l][r]=true，我們要判斷 dp[l-1][r+1] 是否為回文。只需要判斷字串在(l-1)和（r+1)兩個位置是否為相同的字元，是不是減少了很多重複計算。

進入正題，動態規劃關鍵是找到初始狀態和狀態轉移方程。

初始狀態，l=r 時，此時 dp[l][r]=true。

狀態轉移方程，dp[l][r]=true 並且(l-1)和（r+1)兩個位置為相同的字元，此時 dp[l-1][r+1]=true。

public string longestpalindrome(string s) 
int strlen = s.length();
int maxstart = 0;  //最長回文串的起點
int maxend = 0;    //最長回文串的終點
int maxlen = 1;  //最長回文串的長度
boolean dp = new boolean[strlen][strlen];
for (int r = 1; r < strlen; r++) }}
}return s.substring(maxstart, maxend + 1);
}

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