最近，我一直在寫關於濾波器主題的文章，雖然我專注於實際實踐，但我覺得有必要解釋一些重要的理論概念，以使讀者理解和從中受益並分析模擬濾波器的行為。現在每個人都可以使用軟體工具，使複雜的濾波器設計相對輕鬆，但我認為完全忽略數學基礎並不是因為它對完成許多現實設計任務不是絕對必要的。
濾波器的響應可以用s域傳遞函式表示；變數s來自拉普拉斯變換，代表複雜的頻率。例如：
該傳遞函式是一階低通濾波器頻域特性的數學描述。s域表示式有效地傳達了一般特徵，如果我們想要計算特定的振幅和相位資訊，我們所要做的就是用jω代替s，然後在給定的角頻率下評估表示式。因為從未見過具有以k和ωo表示的元件值的電路圖，所以你可能想知道其中k和ωo來自**。這裡的想法是k和ωo就像乙個模板的部分，並在接下來的部分，我們將看看模板和電路圖之間的關係。
s域電路分析
rc低通濾波器是與頻率相關的分壓器。 在s域分析中，電阻器的阻抗為r，電容器的阻抗為 1/sc。
如果比較這個表示式與標準化傳遞函式，可以看出k = 1且ωo= 1/rc。 一旦你知道k和ωo代表什麼，使用標準化形式的便利就變得清晰了：k是電路在dc上的增益，ωo是截止頻率。 因此，通過比較電路的傳遞函式與標準化傳遞函式，可以立即為一階低通濾波器的兩個定義特徵表示式，即dc增益和截止頻率。另一種標準形式的一階低通傳遞函式如下：
如果我們將分子和分母除以rc，我們可以將電路的傳遞函式擬合到這個模板中：
因此，ao = 1/rc和ωo= 1/rc。這種形式並沒有直接給dc增益，但如果我們評估s = 0的標準化表示式，我們就有了：
這意味著我們的rc濾波器的dc增益為（1/rc）/（1/rc）= 1，dc的單位增益正是我們對無源低通濾波器的期望。
我們已經看到ωo在標準傳遞函式表示截止頻率，但這一事實的數學基礎是什麼？首先，讓我們將標準的s域傳遞函式轉換為等效的jω傳遞函式。
現在讓我們以截止頻率評估表示式。
分母是乙個複數，因此振幅很大。
由於k是dc增益，幅度為1v的極低頻輸入訊號將導致幅度為kv的輸出訊號。 如果輸入頻率增加到每秒ωo弧度，輸出幅度將為k/√2。 k/√2對應於-3 db，你可能知道，截止頻率的另乙個名稱是-3 db頻率。
一階無源低通濾波器的振幅響應圖，當它被繪製為以db為單位的振幅與對數頻率的關係。
這種直接的傳遞函式分析清楚地證明了截止頻率只是濾波器振幅響應相對於極低頻振幅響應降低3db的頻率。
低通濾波器的截止頻率對於電路的相位響應也具有特殊意義。如果我們以x + jy的形式寫出乙個複數，我們按如下方式計算相位：
因此，我們的rc低通濾波器的整體相位響應是
如果我們在ω = ωo處評估這個表示式，相移是
當相移相對於對數頻率時一階無源低通濾波器的相位響應圖。
由一階低通濾波器產生的最大相移為90°，因此該分析告訴我們截止頻率是電路相位響應的「中心」，換句話說，它是濾波器的頻率產生一半的最大相移。
我希望你對s域概念和傳遞函式分析的這一簡要介紹感興趣。模擬濾波器電路的數學基礎起初可能有點困難，但我認為值得你花些時間熟悉這些主題。
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