事件的起因是下圖1，朋友偶然說到一階低通濾波器，藉此來詳細介紹一階低通濾波器的原理，並附上matlab**程式**。圖1中的一階低通數字濾波器的公式為eq(1)：
y(n) = q*x(n) + (1-q)*y(n-1) eq(1)
其中，y(n)表示當前的輸出，x(n)表示當前的輸入，y(n-1)表示上一次的輸出（圖1中的符號不標準，因為一般時域用小寫，頻域或z域用大寫）。eq(1)為差分方程，在分析離散系統時常用差分方程，而求解差分方程通常在z域實現，z變換使問題分析變得簡單。這是乙個iir濾波器，那什麼是fir濾波器？什麼是iir濾波器呢？fir濾波器是有限輸入有限輸出，換句話說當輸入為0時輸出也為0，系統無反饋；而iir濾波器在輸入為0時也可以有輸出，由於增加了反饋迴路，系統有不穩定發散的可能，因此iir的分析要比fir複雜一點。
圖1我們將公式eq(1)進行z變換得到z域傳遞函式。見eq(2)，注意其中z域的大寫，我們要符合規範。根據eq(2)，系統具有乙個極點z=1-q和乙個零點z=0，我們這裡關心的是極點。當極點處於z域單位圓內時，系統是穩定的，否則系統為不穩定系統會發散。單位圓是個重要的概念，z域的單位圓等同於s域的虛軸向左捲繞成z域的單位圓(s域中極點處於虛軸左邊系統穩定)。分析z域的幅頻響應(iir的相位非線性這裡不表)是在單位圓上進行的，z=r*exp(jw)，單位圓上模值為1，所以z=exp(jw)(e的j*w次冪)，根據尤拉公式exp(jw) = cos(w)+j*sin(w)，我們得到eq(3)。我們可以借助matlab來方便的求出h(w)的幅頻響應，後面會給出**，我們先來看結果見圖2.
當q和取樣時間的引數和圖1保持一致時(q=0.0565 fs=3.333k即300us)，幅頻響應見圖2，在橫座標為30hz時的幅值為0.708約等於0.707(-3db點)，我們簡單分析一下圖2，一階低通濾波器的通帶。。。。額。。圖中看著比較窄，而且不平坦和理想一階低通濾波器相比差距明顯，但是對於高頻干擾抑制效果明顯，而且簡單易實現，很多微控制器應用中就會使用此濾波器。
圖2 圖5是**的時域結果，其中黑色線是理想訊號，紅色線是帶躁訊號，藍色線是去噪後的訊號，由於使用一階低通濾波器後的訊號波形和理想波形比較接近，所以圖3中識別的不是很清晰。圖4是結果區域性示意圖，這樣可以清晰地看到理想訊號、濾波前的帶躁訊號和濾波後的「乾淨」訊號的時域波形情況。
圖3
圖4 **：
%名稱：數字一階低通濾波器
clc;
clear;
close all;
t=0.0003; %取樣週期為300us
fs = 1/t; %取樣頻率
w = -3.14:0.001:3.14; %橫座標解析度，z域單位圓中w為+-pi
q=0.0565; %係數
f = (q*cos(w)+q*1i*sin(w))./(cos(w)-(1-q)+1i*sin(w));%傳遞函式
am=abs(f); %求幅值
w=w*(fs/2/pi); %z域w和取樣頻率之間的換算
plot(w,am); %答應幅頻響應曲線
xlabel('frequency(hz)','fontsize',17);
ylabel('amplitude','fontsize',17);
%%%%%%%%訊號處理
tt = 0:0.0003:25;
y_ideal = sin(0.5*tt); %理想訊號
y_noise = awgn(y_ideal,35); %帶噪訊號
y_proce = y_noise; %去燥後的訊號
n=length(y_proce);
for i=2:n
y_proce(i) = q *y_noise(i) + (1-q)*y_proce(i-1);
endfigure(2);
plot(tt,y_noise,'r');hold on;
plot(tt,y_ideal,'k','linewidth',2); hold on;
plot(tt,y_proce,'b'); hold on;
xlabel('time(s)');
ylabel('amp(v)');
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