約瑟夫環是乙個數學的應用問題：已知n個人（以編號1，2，3…n分別表示）圍坐在一張圓桌周圍；從編號為k的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下乙個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列。
前幾天，在一篇文章中得知了約瑟夫環的問題。然後，就涉及了解決辦法。這個問題，在許多計算機或者關於資料結構的書中都有提及，而其中的解決辦法便是使用迴圈鍊錶——無論這個迴圈鍊錶是使用指標還是陣列實現，模擬約瑟夫環的進行，最後得到解決方案。具體方法肯定早有某人披露。但是，令人深感奇妙的還是這個問題的數學解決。在不統計解決過程，即不統計每次都需要出列哪個序號時，就可以應用數學遞推公式，直接得出最後剩下的那個人的序號。
使用數學方式，奇妙是很奇妙，也確實讓人感受到數學的魅力。可是，在我查詢如何推導出這個公式的時候，網上的解決方案都是在我覺得很關鍵的地方一筆帶過。「眾所周知」，「顯而易見」，「很簡單的」……諸如此類。我悲劇的鬱悶了。所以在大家都陶醉在「數學真奇妙啊」的飄飄然中時，我惴惴不安。因為我只感受到了數學帶給我的困惑。
對著網上的推導思考良久，終於茅塞頓開。所以趕緊寫下來，以防以後再次悲劇和鬱悶。並且希望以後看到這篇文章的人，能和我一樣擺脫困惑。
先總結一下約瑟夫環的遞推公式：
f[1]=0; f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
f[1]=1; f[i]=(f[i-1]+m)%i (i>1); if(f[i]==0) f[i]=i;
p(1, m, k)=1 (i = 1); p(i, m, k)=[p(i - 1, m, k ) + m - 1] % i + 1 (i > 1, 此處先減1是為了讓模i的值不為0)
那麼這三個公式有什麼不同？
首先可以肯定的是這三個公式都正確。公式1，得到的是以0～n-1標註的最終序號；公式2，3得到的就是正常的1~n的序號；並且公式2和公式3其實是乙個意思。下面我們就分別推導三個公式，並且推導的過程中，你也就能明白這三個公式的共同點和不同點。
公式1的推導：——————————
給出乙個序列，從0～n-1編號。其中，k代表出列的序號的下乙個，即k-1出列。
a0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1
那麼，出列的序號是(m-1)%n，k=m%n（這個可真的是顯而易見）。出列k-1後，序列變為
b0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1
然後，我們繼續從n-1後延長這個序列，可以得到
c`0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2
我們取從k開始直到n+k-2這段序列。其實這段序列可以看作將序列b的0~k-2段移到了b序列的後面。這樣，得到乙個新的序列
ck, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2
好了，整個序列c都減除乙個k，得到
d0, 1, …, n-2
c序列中的n-1, n, n+1都減除個k是什麼？這個不需要關心，反正c序列是連續的，我們知道了頭和尾，就能知道d序列是什麼樣的。
這樣你看，從序列a到序列d，就是乙個n序列到n-1序列的變化，約瑟夫環可以通過遞推來獲得最終結果。ok，繼續向下。
剩下的就是根據n-1序列遞推到n序列。假設在n-1序列中，也就是序列d中，我們知道了最終剩下的乙個序號是x，那麼如果知道了x轉換到序列a中的編號x`，不就是知道了最終的結果了麼？
下面我們就開始推導出序列a中x的序號是什麼。
d->c，這個變換很容易，就是x+k；
c->b，這個變換是網上大家都一帶而過的，也是令我鬱悶的乙個關鍵點。從b->c，其實就是0~k-2這段序列轉換為n~n+k-2這段序列，那麼再翻轉回去，簡單的就是%n，即(x+k)%n。%n以後，k~n-1這段序列值不會發生變化，而n~n+k-2這段序列則變成了0～k-2；這兩段序列合起來，就是序列b。
於是乎，我們就知道了，x`=(x+k)%n。並且，k=m%n，所以x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出來了：f[i]=(f[i-1]+m)%i。當然，i=1就是特殊情況了，f[1]=0。這裡還有乙個小問題。也許你會迷惑為什麼x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n變成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其實這個稍微想想就能明了。我們%n就是為了從序列c轉換到序列b——這是在n-1序列轉換成n序列時%n；那麼從n-2轉換到n-1呢？不是要%(n-1)了嗎？所以這個值是變數，不是常量。
好了，這個最後需要注意的就是從一開始，我們將n序列從0～n-1編號，所以依據公式1得出的序號是基於0開始的。
約瑟夫環問題的理解
據說著名猶太歷史學家josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後，39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了乙個自殺方式，41個人排成乙個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下乙個重新報數，直到所有...
關於約瑟夫環問題的理解
有序列 0，1，2，3.n 1 可以將0 n 1的序列值理解為任意陣列下標 每次刪除第m個，注意該序列首尾相連，即n 1的下乙個為0，問最後剩下的數字是多少？此問題被稱為約瑟夫環問題，可以用列舉找規律解決，但也可以使用動態規劃來思考 1 記1 n 1序列最後剩下的數字為 f n,m 其中n表示有n個...
基本約瑟夫環的一些理解
約瑟夫環 josephus cycle 編號為1，2，3，n的n個人按順時針方向圍坐一圈。任選乙個正整數作為報數上限m，從第乙個人開始按順時針方向自1開始順序報數，報到m時停止報數，報m的人出列。從他在順時針方向上的下乙個人開始重新從1報數，如此下去，直到最後圈中只剩下最後乙個人 勝利者 請設計程式...