約瑟夫環的O n 演算法

問題描述：

已知n個人（以編號1，2，3...n分別表示）圍坐在一張圓桌周圍。從編號為1的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下乙個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列，求最後乙個出列人的編號。

為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求最後乙個人的編號。

第乙個出列人的編號一定是(m-1)%n，他出列之後，剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）：

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

並且從k開始報0.

現在我們把他們的編號做一下轉換：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

.....

n-1 --> n-1-k

0--> n-k

...

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

從前面幾個數可以發現轉換後貌似都減了k，看到後面發現光減k不行，因為可能會出現負數，所以其實是先減去k再加上n最後對n取模。

變換後又從0開始報數，即就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題（即(n-1)個人報數的子問題）的解：例如x是最終出列的人，那麼根據上面這個表把這個x變回去就正好是n個人報數最後出列的人的編號x'：

∵ k=m%n; 　　

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大於n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 　　得到 x『=(x+m)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是乙個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：

令f表示i個人玩遊戲報m退出最後出列者的編號，最後的結果自然是f[n].

遞推公式: 　　f[1]=0; 　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

#includeusing namespace std;
int main()
printf("%hd\n", s+1);
return 0;
}

參考：