堆和堆排序

認識堆以前，首先要明確兩個概念：滿二叉樹和完全二叉樹：

滿二叉樹：在一棵二叉樹中，如果所有分支節點都存在左子樹和右子樹，並且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱為滿二叉樹。

完全二叉樹：對一棵具有 n 個節點的二叉樹按層序編號，如果編號為 i 的節點與同樣深度的滿二叉樹中編號為 i 的節點在二叉樹中的位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。

堆：堆是具有下列性質的完全二叉樹：每個結點的值都大於或等於其左右孩子節點的值，稱為大頂堆；或者每個節點的值都小於或等於其左右孩子節點的值，稱為小頂堆。

該方法的思路是把陣列先全部載入到陣列裡，然後按照完全二叉樹的結構從下往上，從右往左逐步建堆，最後把整個二叉樹擴充套件成堆。

時間複雜度分析：

設有 n 個節點，則這 n 個節點構成的完全二叉樹深度為 log(n)，把高度設為 h

第 m 層最多的節點個數是 2^(m) ，每個節點需要下移的最多的次數是 (h - m) 次，則時間複雜度

t = 2^(h - 1) * 1 + 2^(h - 2) * 2 + 2^(h - 3) * 3 + … + 2^1 * (h - 1) + 2^0 * (h) （1）

等式兩邊同乘 2

2t=2^h * 1 + 2^(h - 1) * 2 + 2^(h - 2) * 3 + 2^(h - 3) * 4 + …+2^1 * (h) (2)

用 (2) 式減 (1) 式得

t = 2^h + 2^(h - 1) + 2^(h - 2) + … + 2^1 - 2^0 (3)

根據等比數列求和公式得

t = 2^(h + 1) - h - 1

h = log2(n)，所以得 t = n - log2(n) + 1，即時間複雜度為 o(n)

**：

void
createheap()
;int currentpos =
(arr.length -2)
/2;//最後乙個非葉子節點
while
(currentpos >=0)
}//構建大根堆
void
filterdown
(int
arr,
int start,
int end)
if(temp < arr[j]
)else
}    arr[i]
= temp;
}

該方法的思路是每次把資料插入到堆的最後乙個位置，逐步把該節點往上公升，直到公升不動為止。

時間複雜度：這種方法的時間複雜度很好分析，一共 n 個節點，每個節點最大比較 log2(n) 次，所以時間複雜度就是 n * log2(n)

void
createheap()
;//相當於是乙個乙個插入到堆的末尾，再向上調整成堆
int currentpos =0;
while
(currentpos < arr.length)
for(
int i : arr)
}void
filterup
(int
arr,
int end)
else
break;}
else
break;}
arr[i]
= temp;
//移動到最後的位置，這種方式減少了交換次數
}

第一種建堆方式主要用於堆元素已經確定好的情況，第二種方式主要用於動態增加元素來建堆。插入建堆的過程也常用於建立優先佇列的應用。

堆排序的基本思想就是把待排序的序列造成乙個大頂堆。此時，整個序列最大的值就是堆頂的根節點。將它移走（為了節省空間，就直接和最後乙個節點互換位置了），然後將剩餘 n - 1 個節點重新構造成乙個堆，這樣就會得到 n 個元素中的次小值。如此反覆執行，便能得到乙個有序序列了（如果用了節省空間的方法，那麼大根堆得到的是公升序序列，小根堆得到的是降序序列）。

時間複雜度：

共需要移走 n 個節點，每移走乙個節點重新建堆需要 log(n) 的時間，所以時間複雜度為 n * log(n)

空間複雜度：

沒有開闢額外的空間，所以是 o(1)，如果不用節省空間的方法，空間複雜度是 o(n)。

因為堆排序存在跳躍，所以堆排序是不穩定的（隨手畫一下就發現了）。

void
createheap()
;int currentpos =
(arr.length -2)
/2;//最後乙個非葉子節點
while
(currentpos >=0)
}//構建大根堆
void
filterdown
(int
arr,
int start,
int end)
if(temp < arr[j]
)else
}    arr[i]
= temp;
}//只在建好的堆上加個排序方法即可
void
sort
(int
arr)
}

堆和堆排序

堆和堆排序

堆和堆排序

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