組合數公式的詳細推導

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的乙個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。

從m個不同元素中取出n(n≤m)個元素的所有組合的個數，叫做從m個不同元素中取出n個元素的組合數(combination)。

公式：c(m,n)=p(m,n)/n!=m!/((m-n)!n!)

性質：1.互補性質

即從m個不同元素中取出n個元素的組合數=從m個不同元素中取出(m-n)個元素的組合數

這個性質很容易理解，例如c(9,2)=c(9,7)，即從9個元素裡選擇2個元素的方法與從9個元素裡選擇7個元素的方法是相等的。

規定:c(m,0)=1

有四個數1、2、3、4（此時有4個元素即m=4）

其中取3個數做成組合，（取n個數即n=3）

有多少個組合即叫做從m個不同元素中取出n個元素的組合數(combination)。（即c(m,n)）

問有多少種組合

1.公式的推導 　公式↓↓↓

c(m,n)=p(m,n)/n!=m!/((m-n)!*n!)

錯誤示範：

#include

using
namespace std;
intmain()

111

112113
114121
122123
124131
132133
134141
142143
144211
212213
214221
222223
224231
232233
234241
242243
244311
312313
314321
322323
324331
332333
334341
342343
344411
412413
414421
422423
424431
432433
434441
442443
44464

2.且也不能出現既有123又有132的組合情況出現

錯誤示範：

#include

using
namespace std;
intmain()
}}}}
}}}}
return0;
}

3.所以正確想法：

首先設想a，a有四個數可供選擇即1、2、3、4

然後是b，a選完後b有3個數可選擇

當a選1時，b可為2 3 4

當a選2時，b可為1 3 4

當a選3時，b可為1 2 4

當a選4時，b可為1 2 3

這樣一算abc的組合有4×3×2=24種（注意此時的組合有重複的如123、132之類）

假如有n個數要選，這裡的n是3，所以是4×3×2=24

即m×（m-1）×（m-2）× ·······（一共n項相乘）

所以原式

=m×（m-1）× ······ ×（m-n+1）

=m×（m-1）× (m-2)×······ ×1 ÷（1×2×······×（m-n+1-1））

=m!/(m-n)!

根據公式，我們知道推導出的這個公式並不完善，那是因為像123、132這樣的重複問題沒有解決。

這時我們把目光放小，abc這個三位數本身的組合只有

abcacb

bacbca

cabcba

由排列得知，第一位有3個選擇，第二空2個選擇，第三空只有乙個選擇

所以一共有3×2×1=6種

並且這6種都是用abc這3個字母交換順序而得的，也就是說，不管a、b、c取什麼數，總會有這6種組合，而這六種組合恰好我們只需一種，因為其他的按照組合數的定義來說都是重複的。

而我們那之前用m!/(m-n)!式子算出的24種，就包括這3個固定的數6種情況的。

也就是說每當它給a、b、c 3個位置找到3個固定的值時，m!/(m-n)!式子都會把一種算成六種。可以說是每6個答案中只有乙個算一種。

所以我們把原來算出的24再÷6=4為正確答案，用組合數公式驗算發現是對的。

並且這個重複的次數跟要取的n的個數有關，如取3個元素那麼3×2×1個數即3！個數里會有乙個不重複的.

所以，m!/(m-n)!還需除以n!用以去除重複的，即m!/[(m-n)!*n!]

推導出組合數公式：

**於

附：求組合數**：（翻了好久以前的**）

#include

using
namespace std;
typedef
long
long ll;
ll f[
5001][
5001];
ll c
(int n,
int m)
intmain()

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