演算法不同路徑問題

2、不同路徑(ii)

62. 不同路徑

本問題是動態規劃的乙個比較經典的題目，和跳台階問題本質上是一樣的，只是跳的位置不一樣而已。

乙個機械人位於乙個 m x n 網格的左上角（起始點在下圖中標記為「start」）。機械人每次只能向下或者向右移動一步。機械人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為「finish」）。問總共有多少條不同的路徑？例如，上圖是乙個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？示例 1: 輸入: m = 3, n = 2 輸出: 3 解釋:從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。 1. 向右 -> 向右 -> 向下 2. 向右 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向右示例 2: 輸入: m = 7, n = 3 輸出: 28 1 <= m, n <= 100 題目資料保證答案小於等於 2 * 10 ^ 9

由於只能向右或者向下，那麼在機械人經過某個點的時候就會有這樣的關係

dp[i]
[j]=dp[i-1]
[j]+dp[i]
[j-1
];

即當前位置的方案數為左側方案數和上側方案數之和。

那初始條件我們怎麼確定呢？

由於這個機械人走路比較獨特，所以其實我們可以它走到第一行或者第一列的每個位置，都只有一種方案：一條路走到黑。為此，我們將其初始化為1即可

public
intuniquepaths
(int m,
int n)
for(
int i=
0;i)for
(int i=
1;ireturn dp[m-1]
[n-1];
}

我們還可以對其進一步優化，

我們使用了兩個迴圈來初始化dp陣列，其實這是不必的，我們只需要在遍歷矩陣的時候判斷訪問的是不是左邊界和上邊界，將左邊界和上邊界置為1即可。

public
intuniquepaths
(int m,
int n)
int[
]dp=
newint
[m][n]
;//表示到達每個位置的方案數
for(
int i=
1;i(j-1==0
)                dp[i]
[j]=dp[i-1]
[j]+dp[i]
[j-1];
}}return dp[m-1]
[n-1];
}

63.不同路徑(||)

機械人每次只能向下或者向右移動一步。機械人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為「finish」）。現在考慮網格中有障礙物。那麼從左上角到右下角將會有多少條不同的路徑？網格中的障礙物和空位置分別用 1 和 0 來表示。說明：m 和 n 的值均不超過 100。示例 1: 輸入:[ [0,0,0], [0,1,0], [0,0,0] ]輸出: 2 解釋:3x3 網格的正中間有乙個障礙物。從左上角到右下角一共有 2 條不同的路徑： 1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

這次我們的路徑裡出現了障礙物，不過這不是什麼問題。

轉移方程還是上面的

dp[i]
[j]=dp[i-1]
[j]+dp[i]
[j-1
];

只不過我們需要對障礙物加乙個條件，如果i,j的位置為障礙物，那麼我們將dp[i][j]標註為0，這樣就可以了。

public
intuniquepathswithobstacles
(int
obstaclegrid)
for(
int i=
0;i(obstaclegrid[0]
[i]!=1)
;i++
)for
(int i=
1;i)else}}
return dp[m-1]
[n-1];
}

上面的空間複雜度還可以再優化一下，不過寫出來就不太優雅了。

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