原來是有一篇文的 但是latex渲染壓力夠大了不想加東西了 乾脆開個新坑
剛好之前xoi2003最後一題出了個被出爛的idea 算是提醒一下自己別再弄板子題了吧
說句閒話，碼農教程司馬
前置知識：
擴充套件尤拉定理： b≥φ
(p)時
，ab≡
abmo
dφ(p
)+φ(
p)(m
odp)
b\ge \varphi(p)時，a^b\equiv a^\pmod p
b≥φ(p)
時，ab
≡abm
odφ(
p)+φ
(p)(
modp
)（顯然 b
<φ(
p)
b<\varphi(p)
b<φ(
p)時無需變化）
題意：求 222
⋯mod
p\large 2^}}\bmod p
222⋯mo
dp的值就是板子，用擴充套件尤拉定理遞迴求解（也可轉化為遞推）即可
遞迴邊界就是 p=1
p=1p=
1 ，答案顯然為0
考慮這樣一件事：對於偶數 p
pp ，φ(p
)≤p2
\varphi(p)\le\dfrac p2
φ(p)≤2
p成立（偶數全部被排除）；對於奇數 p
pp ，考慮計算公式：
φ (x
)=x×
∏i=1
m(1−
1pi)
\varphi(x)=x\times\prod\limits_^m(1-\dfrac 1)
φ(x)=x
×i=1
∏m(
1−pi
1)
（ p1∼m
p_p1
∼m 為 x
xx 的質因子，x
xx 為奇數）
發現 1−1
pi=p
i−1p
i1-\dfrac 1=\dfrac
1−pi1
=pi
pi
−1 ，於是易 證 φ(x
)\varphi(x)
φ(x)
必為偶數（讀者自證不難）
那麼我們就發現遞迴（遞推）求解層數是log級的，時間複雜度就不虛了
我用線性篩預處理了一下 φ
\varphi
φ ，感覺直接爆算可能不怎麼快
反正時間複雜度是 θ(p
+t
logp)
\theta(p+t\log p)
θ(p+
tlogp)
，本題中 p=1
e7
p=1e7
p=1e7
寫**的時候突然意識到遞推並不好寫。。寫個遞迴算了 反正也不慢
qnmd線性篩
a掉之後翻了一下提交記錄 突然發現直接算尤拉函式速度會快很多
一方面是理論上運算次數少了 另一方面是沒有訪問陣列，常數也小了不少
所以還是放新**吧
#include
int t,s,a,cnt,p;
intphi
(int x)
x>1&&
(t=t/x*
(x-1))
;return t;
}inline
int_power
(int x,
int y,
int p)
intf
(int p)
intmain()
坑回頭填
2016 12 7 關於尤拉函式
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