逆序對及其變種

首先看一下逆序對（leetcode 劍指offer 51）：

在陣列中的兩個數字，如果前面乙個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成乙個逆序對。輸入乙個陣列，求出這個陣列中的逆序對的總數。示例 1: 輸入: [7,5,6,4] 輸出: 5

限制：0 <= 陣列長度 <= 50000

這也是乙個經典問題，而且如果方向沒對的話，是想破頭也想不出來的。肯定不能暴力搜尋，會tle。

怎麼解決這個問題呢？我們先看一下歸併排序。

給定乙個整數陣列 nums，將該陣列公升序排列。
示例 1：
輸入：[5,2,3,1]
輸出：[1,2,3,5]
示例 2：
輸入：[5,1,1,2,0,0]
輸出：[0,0,1,1,2,5]
1 <= a.length <= 10000
-50000 <= a[i] <= 50000

排序演算法千千萬，這次我們用歸併排序來解決。

class
solution
void
mergesort
(vector<
int>
& nums,
int p,
int r)
}void
merge
(vector<
int>
& nums,
int p,
int q,
int r)
else}}
};

為什麼要引入歸併排序呢？回憶一下歸併排序的過程。對於某個陣列，我們是把它分成兩半，每一半都進行各自的歸併排序，當然要是這個陣列大小為1的話就直接返回了。而這兩半陣列各自排好序以後，接下來做什麼？我們需要把這兩半陣列，通過雙指標遍歷的方法寫成排好序的乙個陣列。而這個合併的過程，就可以順便計算出逆序對的個數。

怎麼做到這一點呢？首先要搞清楚一點，對於兩半陣列來說，無論某一半的陣列元素順序發生什麼變化，橫跨這兩半陣列的逆序對是始終存在的。比如說，前一半陣列有個元素5，後一半陣列有個元素3，那麼無論這兩半陣列內部發生什麼順序上的變化，這個5和3組成的逆序對是始終存在的。

明白了這一點，我們在對這兩半陣列分別進行排序的時候，計算出這兩半陣列內部各自的逆序對個數之和，然後再在合併這兩個陣列的過程中，計算橫跨這兩半陣列的逆序對個數。

怎麼計算橫跨這兩半陣列的逆序對個數呢？現在前後兩半陣列nums1, nums2各有指標i, j，想象一下，當nums1[i] <= nums2[j] 的時候，也就是說nums1[i] 可以和nums[j]前面的元素組成逆序對，這個時候逆序對的個數應該加上j（假設下標從0開始），然後 i 向後移動1位；而nums1[i] > nums2[j] 的時候，j 向後移動1位，這個時候我們不改變逆序對的計數。

通過這種過程，就可以計算出逆序對的個數了。

class
solution
void
mergesort
(vector<
int>
& nums,
int p,
int r)
}void
merge
(vector<
int>
& nums,
int p,
int q,
int r)
else}}
private
:int ans;
};

這份**是有點兒問題的，就是在leetcode的測試樣例上，有乙個樣例的元素有int_max，這會使得哨兵失效。不過這個演算法是沒有任何問題的，這種細節就沒必要糾結了。

時間限制：c/c++ 2秒，其他語言4秒
空間限制：c/c++ 256m，其他語言512m
作為程式設計師的小q，他的數列和其他人的不太一樣，他有2^n個數。
老闆問了小q一共 m次，每次給出乙個整數qi(1 <= i <= m), 要求小q把這些數每
2^qi分為一組，然後把每組進行翻轉，小q想知道每次操作後整個序列中的逆序對個數是
多少呢？
例如:對於序列1 3 4 2，逆序對有(4, 2),(3, 2),總數量為2。
翻轉之後為2 4 3 1，逆序對有(2, 1),(4, 3), (4, 1), (3, 1),總數量為4。
輸入描述:
第一行乙個數n(0 <= n <= 20)
第二行2^n個數，表示初始的序列(1 <= 初始序列 <= 10^9)
第三行乙個數m(1 <= m <= 10^6)
第四行m個數表示qi(0 <= qi <= n)
輸出描述:
m行每行乙個數表示答案。
輸入例子1:
22 1 4 3
41 2 0 2
輸出例子1:06
60例子說明1:
初始序列2 1 4 3
2^q1 = 2 ->
第一次：1 2 3 4 -> 逆序對數為0
2^q2 = 4 ->
第二次：4 3 2 1 -> 逆序對數為6
2^q3 = 1 ->
第三次：4 3 2 1 -> 逆序對數為6
2^q4 = 4 ->
第四次：1 2 3 4 -> 逆序對數為0

這個題很簡單嘛，每次翻轉一下，然後用剛才計算逆序對的方法計算一下就好了，繁瑣了點兒，不過思路還是一樣的，實現**如下：

#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
int ans =0;
intreversepairs
(vector<
int>
& nums)
;void
mergesort
(vector<
int>
& nums,
int p,
int r)
;void
merge
(vector<
int>
& nums,
int p,
int q,
int r)
;int
main()
cin >> m;
vector<
int>
ms(m)
,ans
(m,0);
for(
int i =
0; i < m;
++i)
int two_ms_i;
for(
int i =
0; i < m;
++i)
/*for (int j = 0; j < n; ++j)
}}*/
ans[i]
=reversepairs
(ms);}
for(
int i =
0; i < m;
++i)
}return0;
}int
reversepairs
(vector<
int>
& nums)
void
mergesort
(vector<
int>
& nums,
int p,
int r)
}void
merge
(vector<
int>
& nums,
int p,
int q,
int r)
else
}}

一提交，tle。

m最大為106，也就是說最多要做106次逆序對的計算，不tle才怪了，因此肯定有什麼捷徑。

這道題我想不出來，也沒查到很明確的解答。希望有人能做出來，然後讓我觀摩一下。

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