簡單整數劃分與放蘋果問題思考（遞迴）

這兩個問題幾乎是相同的，但是以放蘋果的方式來思考問題明顯會更易理解。下面先看一下兩個問題的描述。

整數劃分

描述

將正整數n 表示成一系列正整數之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。

正整數n 的這種表示稱為正整數n 的劃分。正整數n 的不同的劃分個數稱為正整數n 的劃分數。

分蘋果問題

m個同樣的蘋果放n個同樣的盤子，允許有盤子空著, 問有多少種放法。注意：5 1 1和1 5 1是同一種放法

一、問題分析

定義函式f(m,n)。

對於整數劃分： m是要劃分的整數，n是劃分裡可能最大的數（不一定會有n）；

對於放蘋果： m要放的蘋果總數，n是盤子個數。

以下為可能出現的m、n情況：

（1）m=1,或n=1，f（m，n）=1。在整數劃分裡，數字1顯然只有一種劃分方法，數m的最大劃分為1時也只有一種情況（m個1）；分蘋果裡，乙個蘋果只有一種方法（不區分盤子），乙個盤子也只能把所有蘋果都放進來這乙個結果。

（2）m<1,或n<1，f（m，n）=0。整數劃分裡，要求數為正數，所以小於1無法進行劃分，劃分方式為0。當沒有蘋果或者沒有盤子時，也是無法「放蘋果的」。

（3）mn，f（m，n）= f（m-n，n）+f（m，n-1）。如果理解了第4條，就好理解很多。

對於放蘋果，把m個蘋果放到n個盤子裡=n個盤子都不為空+至少有乙個為空。而要實現n個盤子都不為空，可以先把n個盤子裡各放乙個蘋果，還剩m-n個蘋果隨機放，即為f（m-n，n）。至少有乙個為空也等於最多n-1個盤子放蘋果，f（m，n-1）。

對於整數劃分，還是比較抽象的。

數m的劃分最大可能為n=數m劃分裡一定包含n+數m的劃分裡一定不含n（最大就為n-1）

怎麼實現一定包含n呢？那我們就先從整數m裡分乙個n出來唄，易有m-n=m-n（哈哈，假裝算一下），這就保證了一定含n，剩下的數為m-n再隨機劃分為f（m-n，n），不需要考慮m-n和n的相對大小（遞迴哦，我們3,4，5就是幹這個的）。

一定不含n就簡單了吧，那就讓最大的可能變為n-1啊，f（m，n-1）。

個人感覺整數劃分和放蘋果的理解難度相差太大，當初整數劃分困惑了我很久，尤其是第5點，直到蘋果砸了一下我的腦袋。

建議從放蘋果的角度理解

（哦，在放蘋果問題裡，有的是認為沒有蘋果的時候，結果就為1，個人理解起來很困惑，而且按照那樣的思路理解好了後，遇到整數問題就得換思路了。）

二、源**

#include
using
namespace std;
intf
(int m,
int n)
;int
main()
return0;
}intf(
int m,
int n)
//m為蘋果個數，n為盤子個數