完全揹包問題（動態規劃）

題目：

有 n 種物品和乙個容量為 v 的揹包，每種物品都有無限件可用。第 i 種物品的費用是 c[i]，價值是 w[i] 。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

這個問題可以不可以像01揹包問題一樣使用動態規劃來求解呢？來證明一下即可。

首先，先用反證法證明最優化原理：

假設完全揹包的解為f(n1,n2,...,nn)（n1，n2 分別代表第1、第2件物品的選取數量），完全揹包的子問題為，將前i種物品放入容量為t的揹包並取得最大價值，其對應的解為：f(n1,n2,...,ni)，假設該解不是子問題的最優解，即存在另一組解f(m1,m2,...,mi)，使得f(m1,m2,...,mi) > f(n1,n2,...,ni)，那麼f(m1,m2,...,mi,...,nn) 必然大於 f(n1,n2,...,nn)，因此 f(n1,n2,...,nn) 不是原問題的最優解，與原假設不符，所以f(n1,n2,...,ni)必然是子問題的最優解。

再來看看無後效性：

對於子問題的任意解，都不會影響後續子問題的解，也就是說，前i種物品如何選擇，只要最終的剩餘揹包空間不變，就不會影響後面物品的選擇。即滿足無後效性。

因此，完全揹包問題也可以使用動態規劃來解決。

這個問題非常類似於 01揹包問題，所不同的是每種物品都有無限件。也就是從每種物品的角度考慮，與它相關的策略已並非取或不取兩種，而是有取 0 件、取 1 件、取 2 件 ......等很多種。如果仍然按照解 01揹包時的思路，令 f[i][v] 表示前 i 種物品恰放入乙個容量為 v 的揹包的最大權值。仍然可以按照每種物品不同的策略寫出狀態轉移方程：

這跟 01揹包問題一樣有  o(vn)  個狀態需要求解，但求解每個狀態的時間已經不是常數了，求解狀態  f[i][v]  的時間是

基本**如下：

#include #include #define n 1002

using namespace std;
int f[n][n];
int w[n];
int v[n];
int main() 
for ( int i = 1; i <= n; i++ ) }}
cout << f[n][w] 狀態轉移方程：同 01 揹包問題一樣，完全揹包問題空間複雜度可以優化到θ(n)1。
空間複雜度優化後**如下：
#include #include #define n 1002
using namespace std;
int f[n];
int w[n];
int v[n];
int main() 
for ( int i = 1; i <= n; i++ ) }}
cout << f[w] <  
完全揹包問題有乙個很簡單有效的優化，是這樣的：若兩件物品 i 、j 滿足
) 實現，一般都可以承受。
然而這個並不能改善最壞情況的複雜度，因為有可能特別設計的資料可以一件物品也去不掉。另外，針對揹包問題而言，比較不錯的一種方法是：首先將費用大於 v 的物品去掉，然後使用類似計數排序的做法，計算出費用相同的物品中價值最高的哪個，可以 θ(
v + 
n) 地完成這個優化。
既然 01揹包問題是最基本的揹包問題，那麼我們可以考慮把完全揹包問題轉化為 01揹包問題來解。最簡單的想法是，考慮到第 i 種物品最多選  v/c[i]  件，於是可以把第 i 種物品轉化為  v/c[i]  件費用及價值均不變的物品，然後求解這個 01揹包問題。
這樣完全沒有改進基本思路的複雜度，但畢竟給了我們將完全揹包問題轉化為 01揹包問題的思路：將一種物品拆成多件物品。
更高效的轉化方法是：把第 i 種物品拆成費用為

這個演算法使用一維陣列，先看偽**：

for i=1..n
for v=0..v
f[v]=max

你會發現，這個偽**與 01揹包問題的偽**只有v的迴圈次序不同而已。

為什麼這樣一改就可行呢？首先想想為什麼01揹包問題中要按照v=v..0的逆序來迴圈。

這是因為要保證第i次迴圈中的狀態f[i][v]是由狀態f[i-1][v-c[i]]遞推而來。換句話說，這正是為了保證每件物品只選一次，保證在考慮「選入第i件物品」這件策略時，依據的是乙個絕無已經選入第i件物品的子結果f[i-1][v-c[i]]。

而現在完全揹包的特點恰是每種物品可選無限件，所以在考慮「加選一件第i種物品」這種策略時，卻正需要乙個可能已選入第i種物品的子結果f[i][v-c[i]]，所以就可以並且必須採用v=0..v的順序迴圈。這就是這個簡單的程式為何成立的道理。

這個演算法也可以以另外的思路得出。例如，將基本思路中求解f[i][v-c[i]]的狀態轉移方程顯式地寫出來，代入原方程中，會發現該方程可以等價地變形成這種形式：

f[i][v]=max

這個方程表示的意思：

「 將前 i 件物品放入容量為 v 的揹包中 」 這個子問題，若只考慮第 i 件物品的策略（放多少個），那麼就可以轉化為乙個只牽扯前 i 件物品的問題。

如果不放第 i 件物品，那麼問題就轉化為 「 前 i-1 件物品放入容器為 v 的揹包中 」 ，價值為 f[i-1][v] ；

如果放第 i 件物品，那麼問題就轉化為 「 前 i 件物品（這裡不是前 i-1 的原因是，這裡的物品都有無限件，可能此前已經放了第 i 件物品）放入剩下的容量為 v-c[i] 的揹包中 」，揹包中此時能獲得的最大價值就是 f[i][v-c[i]] 價值再加上通過放入第 i 件物品獲得的價值 w[i]。

#include #include #define n 1002

using namespace std;
int f[n];
int w[n];
int v[n];
int main() 
for ( int i = 1; i <= n; i++ ) 
}cout << f[w] <
return 0;
}

procedure completepack(cost,weight)

for v=cost..v
f[v]=max

動態規劃揹包問題 完全揹包

問題描述 有n種物品，每種均有無窮多個。第i個物品的體積為vi，重量為wi。選一些物品裝到容量為c的揹包中，使得揹包內物品在總體積不超過c的前提下重量盡量大。問題分析 開乙個陣列f i j 表示前i種物品中選取若干件物品放入剩餘空間為j的揹包中所能得到的最大重量。每種物品無窮個，所以還要有乙個k遍歷...

動態規劃 揹包問題 完全揹包

有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是w i 價值是v i 求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。貪心 y or n 因為每件物品都可以選取任意件，你也許會想到貪心演算法 選取價值最高的就好了 看上去沒什麼毛病，但是有乙個問題...

動態規劃揹包問題 完全揹包

問題背景描述 你有乙個容量為v的揹包，現在有n種物品供你選擇，每件物品可以選擇無數次，每種物品所佔的空間為c i 價值為v i 現在讓你作出最佳方案，使揹包中的總價值最大。有了之前01揹包的基礎，我們很快就能寫出完全揹包的狀態轉移方程 f i j max 但是這樣的時間複雜度就很大了o v v c ...