凹凸函式在同濟大學高等數學中的定義符合人們的思維定式。在國際上的定義恰好與同濟大學高等數學中的定義相反。
1、同濟大學高等數學定義：
2、國際上的定義：
國際上的定義剛好與國內的凹凸函式的定義相反。二階導數大於0，則為凸函式，有極小值；二階導數小於0，則為凹函式，有極大值（後面涉及到的凹凸函式，均為國際上的定義）；
3、e^x的二階導數大於0，為凸函式；logx的二階導數小於0，為凹函式；一元函式可以很容易的判斷凹凸性，二元函式如何判斷凹凸性？用到了海塞矩陣，根據海塞矩陣的正定性，判斷凹凸性。
①海塞矩陣
②正定矩陣
判斷海塞矩陣是否為正定矩陣；若所有特徵值均不小於零，則稱為半正定。 若所有特徵值均大於零，則稱為正定。特徵值怎麼求？|λe-a|=0，可以求出特徵值。若主對角線上的元素都為0，則主對角線上的值為特徵值。deta=|a|=對角線元素積。
③凹凸性判斷（正定矩陣為凸函式）:
例題1：f(x,y)=x^2+5y^2-6x+10y+6
所有的特徵值均大於0，海塞矩陣為正定矩陣，函式為凸函式。
例題2：f(x,y)=10(y^2+4x)^2+(1-4y)^2
經過行列式變化(行列式性質：把一行(列)的倍數加到另一行(列)，行列式不變)，把主對角線上的元素變為0，第乙個特徵值為320，第二個特徵值先不計算。可以計算|a|=320*第二個特徵值=對角相乘再相減，利用這個連等式，若該函式為凸函式，則第二個特徵值也必須大於0，那麼|a|>0；320*(120y^2+160x*32)-160*160y^2=2560(5y^2-20x+4)>0是f(x,y)為凸函式的條件。駐點：dz/dx=0，dz/dy=0，即x=1/64，y=1/4；而x和y的值滿足5y^2-20x+4>0,所以滿足凸函式性質，有唯一極小值。
例題3：f(x,y)=x^2/y
根據特徵值，乙個為2/y，乙個為0，那麼y的正負決定函式的凹凸性，若y>0,函式為凸函式。
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