判斷函式 \(f(x)=ln(x+\sqrt})\) 的奇偶性。
\(log_(mn)=log_m+log_n\)
在 matlab (下面的**在 matlab 9.1.0.441655 (r2016b) 中測試通過) 中輸入如下**：
x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))
圖 1有影象可以看到，自然對數 \(ln(x)\) 只在 \((0,+\infty)\) 的區間裡有定義，不符合對數函式或者偶數函式對於「定義域 \(x\) 關於原點對稱」的要求。不過題目中的函式可以看作是乙個符合函式，因此，我們還需要結合 \(g(x)=x+\sqrt}\) 的定義域來確定 \(f(x)\) 的定義域。
因為：\(\sqrt}>\sqrt}>|x|>0\)
則：當 \(x\in (-\infty,+\infty)\) 時 \(x+\sqrt} > 0\) 滿足自然對數函式 \(ln(x)\) 對定義域的要求，而且，當 \(x=0\) 時，\(f(x)=ln(1)=0\), 也滿足奇函式「當f(x)在原點處有定義時，f(0)=0」的要求。
到這裡，定義域的問題解決了，下面要解決的是函式是關於 \(y\) 軸對稱，還是關於原點對稱的問題。
由於：\(f(x)=ln(x+\sqrt})\)
\(f(-x)=ln(-x+\sqrt})\)
則：\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt}+x)+ln(\sqrt}-x)=ln[(\sqrt}+x)(\sqrt}-x)]=ln(1+x^-x^)=ln(1)=0\)
上面的運算結果符合奇函式的定義，因此，\(f(x)=ln(x+\sqrt})\) 是乙個奇函式。
此外，使用 wolframalpha 畫出的函式 \(f(x)=ln(x+\sqrt})\) 的影象如下：
圖 2. 來自
由影象我們也可以看出這是乙個奇函式。
eof
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