4648. 【noip2016提高a組模擬7.17】錦標賽
problem
n
nn個人進行n−1
n-1n−
1輪淘汰賽。已知i
ii戰勝j
jj勝率為ai,
ja_
ai,j
，求乙個排列使得1
11獲勝概率最大.
n ≤18
n\le 18
n≤18
solution
首先考慮乙個暴力做法：如果已經知道了排列，怎麼計算1
11獲勝的概率。
我們令fk,
if_
fk,i
表示在進行到第k
kk輪時，i
ii為擂主的概率。
那麼如果知道了排列順序d
dd，則可以直接按照下面這個方式進行dp：
f[1]
[d[1]]
=1;f
(i,2
, n)
f(j,
1, n)
if(d[i]
^ j)
n=10
n=10
時剛好被卡，然後這時有乙個顯然的結論：
1如果想要贏得概率最大，必須要最後乙個出場證明是幾乎顯然的，我們可以很容易的通過調整法反證。
於是搜尋 + 簡單的dp可以得到30分的不錯分數。
並且通過這個性質，我們容易想到乙個貪心的做法：
通過贏1
11概率越大的放的越前，並且在此之後對排列進行調整，具體是每次列舉兩個人，看如果交換它們後，1
11贏得概率的是否變大，如果變大就進行調整。這樣進行若干次之後，必定某一時刻會達到最優排列。
這種調整 + 貪心的思想可以拿到100分的不錯分數，並且時間複雜度十分優秀。
#include
#define f(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof a)
const
int n =20;
using namespace std;
int n, d[n]
; bool vis[n]
;double a[n]
[n], ans, f[n]
[n];
double
doit()
return f[n][1
];}int
main()
printf
("%.7lf\n"
,doit()
);}
但我們發現無論怎麼樣狀壓，正著推需要進行取max和累加兩種操作，顯然是不行的。
那麼嘗試著從最終的結果往回推，發現問題就變得簡單了許多。
因為任何乙個局面（我們用狀態s
ss代替），最終的結果一定都是1
11贏，那不妨列舉一下當前這個局面下誰第乙個出場，以及第乙個出場的人與誰進行pk，並轉移到當前狀態。
那麼我們就讓fi,
jf_
fi,j
表示當前局面為i
ii的情況下，j
jj第乙個出場，1
11最後贏的概率。
每次則列舉乙個與j
jj進行決鬥的人k
kk，然後通過這樣的轉移來進行：
f [i
][j]
=max
f[i][j] = max\
f[i][j
]=ma
x
#include
#define f(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define mx(a, b) ((a) = max(a, b))
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof a)
const
int n =
19, m =
262200
;using namespace std;
int n, d[n]
, shl[n]
;double ans, a[n]
[n], f[m]
[n];
intmain()
f(i,
1, n)
mx(ans, f[shl[n]-1
][i]);
printf
("%.7lf"
, ans)
;}
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