密碼學中的橢圓曲線
密碼學中的橢圓曲線不是定義在是實數域上的，我們要把橢圓曲線定義在有限域上（顧名思義，有限域是一種只有由有限個元素組成的域）。
域的概念是從我們的有理數，實數的運算中抽象出來的，嚴格的定義請參考近世代數方面的數。簡單的說，域中的元素同有理數一樣，有自己得加法、乘法、除法、單位元(1)，零元(0),並滿足交換率、分配率。
下面，我們給出乙個有限域fp，這個域只有有限個元素。
fp中只有p（p為素數）個元素0,1,2 …… p-2,p-1；
fp 的加法（a+b）法則是 a+b≡c (mod p)；即，(a+c)÷p的餘數 和c÷p的餘數相同。
fp 的乘法(a×b)法則是 a×b≡c (mod p)；
fp 的除法(a÷b)法則是 a/b≡c (mod p)；即 a×b-1≡c (mod p)；（b-1也是乙個0到p-1之間的整數，但滿足b×b-1≡1 (mod p)；我們稱b-1是元素b在該有限域上的逆元）。
fp 的單位元是1，零元是 0。
同時，並不是所有的橢圓曲線都適合加密。y2=x3+ax+b是一類可以用來加密的橢圓曲線，也是最為簡單的一類。
y2=x3+ax+b定義在實數域上的時候大致形狀是這樣的：
現在我們就把y2=x3+ax+b 這條曲線定義在fp上：圖形又如下圖所示
選擇兩個滿足下列條件的小於p(p為素數)的非負整數a、b
4a3+27b2≠0 (mod p)
則滿足下列方程的所有點(x,y)，再加上 無窮遠點o∞ ，構成一條橢圓曲線。
y2=x3+ax+b (mod p)
其中 x,y屬於0到p-1間的整數，並將這條橢圓曲線記為ep(a,b)。
我們看一下y2=x3+x+1 (mod 23)的影象
fp上的橢圓曲線同樣有加法，但已經不能給以幾何意義的解釋。不過，加法法則和實數域上的差不多，請讀者自行對比。
1. 無窮遠點 o∞是零元，有o∞+ o∞= o∞，o∞+p=p
2. p(x,y)的負元是 (x,-y)，有p+(-p)= o∞
3. p(x1,y1),q(x2,y2)的和r(x3,y3) 有如下關係：
x3≡k2-x1-x2(mod p)
y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)
其中若p=q 則 k=(3x2+a)/2y1 若p≠q，則k=(y2-y1)/(x2-x1)
例5.1 已知e23(1,1)上兩點p(3,10)，q(9,7)，求1)-p，2)p+q，3) 2p。
解 1) –p的值為(3,-10)
2) k=(7-10)/(9-3)=-1/2，2的乘法逆元為12 因為2*12≡1 (mod 23)
k≡-1*12 (mod 23) 故 k=11。
x=112-3-9=109≡17 (mod 23);
y=11[3-(-6)]-10=89≡20 (mod 23)
故p+q的座標為(17,20)
3) k=[3(32)+1]/(2*10)=1/4≡6 (mod 23)
x=62-3-3=30≡20 (mod 23)
y=6(3-7)-10=-34≡12 (mod 23)
故2p的座標為(7,12)
最後，我們講一下橢圓曲線上的點的階。
如果橢圓曲線上一點p，存在最小的正整數n，使得數乘np=o∞，則將n稱為p的 階，若n不存在，我們說p是無限階的。
事實上，在有限域上定義的橢圓曲線上所有的點的階n都是存在的（證明，請參考近世代數方面的書）
六、橢圓曲線上簡單的加密/解密
公開金鑰演算法總是要基於乙個數學上的難題。比如rsa 依據的是：給定兩個素數p、q 很容易相乘得到n，而對n進行因式分解卻相對困難。那橢圓曲線上有什麼難題呢？
考慮如下等式：
k=kg [其中 k,g為ep(a,b)上的點，k為小於n（n是點g的階）的整數]
不難發現，給定k和g，根據加法法則，計算k很容易；但給定k和g，求k就相對困難了。
這就是橢圓曲線加密演算法採用的難題。我們把點g稱為基點（base point），k（k現在我們描述乙個利用橢圓曲線進行加密通訊的過程：
1、使用者a選定一條橢圓曲線ep(a,b)，並取橢圓曲線上一點，作為基點g。
2、使用者a選擇乙個私有金鑰k，並生成公開金鑰k=kg。
3、使用者a將ep(a,b)和點k，g傳給使用者b。
4、使用者b接到資訊後 ，將待傳輸的明文編碼到ep(a,b)上一點m（編碼方法很多，這裡不作討論），並產生乙個隨機整數r（r在這個加密通訊中，如果有乙個**者h ，他只能看到ep(a,b)、k、g、c1、c2 而通過k、g 求k 或通過c2、g求r 都是相對困難的。因此，h無法得到a、b間傳送的明文資訊。
密碼學中，描述一條fp上的橢圓曲線，常用到六個參量：
t=(p,a,b,g,n,h)。
（p 、a 、b 用來確定一條橢圓曲線，g為基點，n為點g的階，h 是橢圓曲線上所有點的個數m與n相除的整數部分）
這幾個參量取值的選擇，直接影響了加密的安全性。參量值一般要求滿足以下幾個條件：
1、p 當然越大越安全，但越大，計算速度會變慢，200位左右可以滿足一般安全要求；
2、p≠n×h；
3、pt≠1 (mod n)，1≤t<20；
4、4a3+27b2≠0 (mod p)；
5、n 為素數；
6、h≤4。
白話橢圓曲線密碼學
橢圓曲線密碼學是下一代的公鑰密碼學，它比之前的公鑰密碼學系統例如rsa和diffe hellman在安全性方面有顯著提高。橢圓曲線密碼學是目前被廣泛使用的最強大的密碼學演算法之一，但是真正理解其工作原理的開發者並不多。橢圓曲線有一系列滿足特定數學方程的點組成。乙個橢圓曲線的方程看起來像這樣 y x ...
現代密碼學之橢圓曲線ECC
橢圓曲線乘法 橢圓曲線結合 elgamal cryptosystem計算例子展示 手算帶步驟 判斷乙個橢圓曲線上有幾個點 reference ecc是由victor miller and neal koblitz1985引入的。對於dsa,rsa，我們需要很大的金鑰長度，而ecc只需要特別餓小的金鑰...
橢圓曲線密碼系統 橢圓曲線
1 橢圓曲線 在這裡，橢圓曲線簡化為用 y2 x3 ax b表示的點的集合。將其離散化後，得到 y2 mod p x3 ax b mod p 2 群數學中的 群 是乙個由我們定義了一種二元運算的集合，二元運算我們稱之為 加法 並用符號 來表示。為了讓乙個集合g成為群，必須定義加法運算並使之具有以下四...