設f是乙個域，a,b\(\in\)f，則方程\(y^2=x^3+ax+b\)稱為域f上的橢圓曲線。
上述方程稱為維爾斯特拉斯方程，其判別式為\(y^2+axy+by=x^3+cx^2+dx+e\)
比如，實數域上的橢圓曲線如下：
橢圓曲線上的加法：
設f是乙個域，a,b\(\in\)f，令e=\(\cup\)，其中為無窮遠點，則可以定義橢圓曲線上的加法為：
1)設\(p_1,p_2\in e\)，令r為\(p_1,p_2\)兩點連線與橢圓曲線的交點關於x軸的對稱點，則\(p_1+p_2=r\)
2)如果\(p_1,p_2\)兩點關於x軸對稱，那麼規定他們連線與橢圓曲線相交於無窮遠點，記為o
3)任何乙個點通過上面的運算規則與o相加的和都是它本身
橢圓曲線上的加法的性質：\(\forall p,q,r\in e\)，如果p,q,r在一條直線上，那麼p+q+r=o
定理：若規定o+o=o，則(e,+)構成乙個阿貝爾群（交換群），其中\(\infty\)為單位元，記為o，p=(x,y)的逆元為q=(x,-y)
例項：設\(y^2=x^3+x+6\)是\(f_\)上的橢圓曲線，求(3,6)+(5,2)以下三類公鑰系統被認為是安全有效的:k=\(\frac=9\)
y-6=k(x-3)
y=9x+1
將上式代入\(y^2=x^3+x+6\)中得：
\((9x+1)^2=x^3+x+6=x^3+7x^2+5x+5\)
(x-3)(x-5)(x-7)=0
\(\therefore\) x=7
y=9x+1=9
\(\therefore\)(3,6)+(5,2)=(7,-9)=(7,2)
基於大整數分解問題的rsa型公鑰密碼；
基於有限域上離散對數問題的elgamal型公鑰密碼；
基於橢圓曲線離散對數問題的橢圓曲線公鑰密碼。
橢圓曲線公鑰密碼優勢：對於橢圓曲線離散對數問題，目前不存在亞指數時間演算法，從而為達到相同安全性所需的金鑰尺寸更小:
– rsa 密碼體制：模長1024 位元；
– 橢圓曲線密碼體制：模長160 位元。
橢圓曲線密碼體制適用於計算、儲存、頻寬受限，但又要求高速實現的應用領域，例如智慧卡、無線通訊等。
el'gamal密碼方案的橢圓曲線形式：
正確性驗證：(x',y') = s(\(x_1,y_1\)) = srp = rsp = rq = (\(x_2,y_2\))，所以x' = \(x_2\)，m' = c·\(x'^\) = c·\(x_2^\) = m·\(x_2·x_2^\) = m
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