我們規定函式f(n
)f(n)
f(n)
代表如下含義：f(n
)=∑d
∣ng(
d)f(n)\ =\ \sum_ g(d)
f(n)=∑
d∣n
g(d)
。在某一些情況下，莫比烏斯反演的f
ff函式很容易求解，但其中的g函式則不容易求解；我們需要通過某一種演算法，在知道每乙個g
gg的情況下求解出對應的f
ff值。
而這乙個演算法就是莫比烏斯反演。
μ (i
)=1， \text \\ (-1)^，i=p_1*p_2*...*p_k \\ 0，i不滿足上述兩種限制 \end
μ(i)=⎩
⎪⎨⎪⎧
1，i = 1(−
1)k，
i=p1
∗p2
∗..
.∗pk
0，i
不滿足上
述兩種限
制對於莫比烏斯函式的性質：
證明不想寫
至於莫比烏斯函式的求法，由於這是乙個積性函式我們可以代到線性篩了，類似於尤拉函式的求法即可。
**如下：
1.我們通過觀察這一串算是，發現在計算每乙份g
gg函式的時候，等號右邊的數都是g的因數。
2.同時我們發現，對於右邊的每乙個數k來說，一定滿足⌊nk
⌋\lfloor\ \frac\ \rfloor
⌊kn
⌋一定由若干個互不相同的質因數組成。且對應的符號為μ(n
k)μ(\frac)
μ(kn)
.因此我們就可以得到莫比烏斯反演公式：g(i
)=∑d
∣iμ(
d)∗f
(nd)
g(i)\ =\ \sum_μ(d)*f(\frac)
g(i)=d
∣i∑
μ(d)
∗f(d
n)然後就可以根據f
ff來求g
gg了。
我們不能執著於證明（九年級語文書都說了不求甚解是好的）
對於每乙個莫比烏斯函式f(i)來說，\sum的內容是小於i的，如果所求需要大於i值、那麼我們需要使用下面兩個莫比烏斯反演的變形公式。
對於乙個數n除以乙個數k來說，會有若干個不同的除數，此時這乙個下取整除數的序列會十分有規律的排布，我們正是需要通過除法分塊來找尋這乙個規律。
例如20去除以1-20的數字，我們分別得到的的序列是：20,10
,6,5
,4,3
,2,2
,2,2
,1,1
,1,1
,1,1
,1,1
,1,1
,120,10,6,5,4,3,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
20,10,
6,5,
4,3,
2,2,
2,2,
1,1,
1,1,
1,1,
1,1,
1,1,
1對於一開始的除數，分布並非十分規律，但是後面卻會出現大量重複，我們這要找到這乙個重複序列的左右端點來減少運算量。我們可以證明，這樣的序列不超過2
n2\sqrt n
2n 個.
證明：若k
k時，共有n
\sqrt n
n個取值。
若k
>
nk>\sqrt n
k>n
時，由於⌊nk
⌋⌋\lfloor \frac\rfloor
⌊kn⌋⌋
，共有n
\sqrt n
n個取值。
因此答案一定不超過2
n2\sqrt n
2n 個。
現在我們來嘗試找到每乙個相同區間的左右端點。
即對於左端點i，我們來嘗試尋找右斷電j。我們知道對於每乙份區間，都有：
⌊ ni
⌋≤nj
\lfloor \frac\rfloor \leq \frac
⌊in⌋≤
jn
由於j要取最大值，因此就有j=i
⌊ni⌋
j\ =\ \frac\rfloor}
j=⌊in
⌋i.
學習筆記 莫比烏斯反演
可能最常見的定義式是這樣的 f x sigma f x leftrightarrow f x sigma mu x f x or f x sigma f x leftrightarrow f x sigma mu x f x 但是這並不是我們 oi 的重點.之前一直學不會這個東西就是因為老研究這個去...
莫比烏斯反演學習筆記
莫比烏斯反演是個很玄學的東西，這裡面的東西我都證明不來。眾所周知，oier只需要結論而不需要證明 首先定義莫比烏斯函式 i 這個函式取值是這樣的 當 i 1 時，mu i 1 當 i prod limits p i 時且 p i 為兩兩不同的質數，mu i 1 k 若都不滿足，mu i 0 接下來可...
數學 數論 莫比烏斯反演
一 莫比烏斯反演涉及知識 1.莫比烏斯函式 2.莫比烏斯的線性篩法 3.狄利克雷卷積 4.莫比烏斯反演詳解 5.整除法分塊 6.杜教篩 二 莫比烏斯函式定義 n 1 k text 0 text end n 1 1 k0 n 1 n p1 p2 p3 pk 其中p 是質數 else 其他情況 也就是說...