莫比烏斯反演

其實我更想把他模擬於符號函式，定義域n+，值域

定義函式：

根據定義有：

同時容易得出：

現定義公式：

代入到上述f(i)的求取，我們可以得到：

那麼其中的μ(d)就是莫比烏斯函式，定義如下：

（1）當d=1時，μ(d)=1；

（2）當d=p1p2...pk為互異素數，μ(d)=-1;

（3）其他情況下，μ(d)=0.

莫比烏斯函式的性質：

（1）對於任意正整數有：

i：當n=1時，顯然成立

ii：當n>1時，因為素因子存在，可以將n分解為:

在r的所有因子中， 值不為零的只有所有質因子次數都為1的因子，其中質因數個數為r個的因子有cr

k個可以拿n=51450=2*3*5*5*7*7*7舉例

其中質因數個數為1的因子有c1

7=7個。有：2 3 5 7 25 49 343

其他模擬即可

那麼有：

即證明：

因為有二項式定理，將x=-1,y=-1，即證。

（2）莫比烏斯函式也是積性函式，所以其字首和也是積性函式

兩種求莫比烏斯函式的模板：

1

ll mubi(ll n) 
12                 n/=i;
13             }while(n%i==0
);14
} 15}16
if(n>1) mu*=-1;17
return
mu;18 }

離線：

1 mu[1]=1;2

for(i=2;i<=n;i++)39
for(j=1;prime[j]*i<=n;j++)
1017         mu[prime[j]*i]=-mu[i];18}
19 }

莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理

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莫比烏斯反演

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莫比烏斯反演

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