一、莫比烏斯反演涉及知識
1.莫比烏斯函式
2.莫比烏斯的線性篩法
3.狄利克雷卷積
4.莫比烏斯反演詳解
5.整除法分塊
6.杜教篩
二、μ 莫比烏斯函式定義μ(
n)=\\
(-1)^k& \text\\
0& \text
\endμ(
n)=⎩
⎪⎨⎪⎧
1(−
1)k0
n=1
n= p1*p2*p3*...*pk(其中p
是質數)
else
其他情況
也就是說如果n有平方質因子的話就為0。
三、莫比烏斯線性篩
int prime[maxn]
,prime_tot;
bool isprime[maxn]
;int mu[maxn]
;void
pre_calc
(int limt)
for(
int j=
1;j)else}}
}
(f*g)(n)=∑d∣
nf(d
)g(n
d)∑d
∣nf
(d)g
(dn
)積性函式指對於所有互質的整數a和b有性質f(a*b)=f(a)f(b)的數論函式。
完全積性函式不需要互質既有f(ab)=f(a) * f(b)尤拉
函式φ(
n)莫比
烏斯函式
，關於非
平方數的
質因子數
目μ(n
)最大公
因子，當
k固定的
情況gc
d(n,
k)單位
函式id
(n)=
n不變函
數1(n
)=n因
子數目d
(n)d
=1∗1
因子之和
函式σ(
n)σ=
1∗id
因子函式
σk(n
)冪函式
idk(
n)=n
k狄利克
雷卷積單
位元ε=
[n==
1]當n
=1時ε
=1其他
等於0劉
維爾函式
λ(n)
關於能整
除n的質
因子的數
目莫比烏斯函式，關於非平方數的質因子數目μ(n) \\
最大公因子，當k固定的情況 gcd(n,k) \\
單位函式id(n)=n\\
不變函式 1(n) =n\\
因子數目 d(n) d=1*1\\
因子之和函式σ(n) σ=1*id\\
因子函式 σk(n) \\
冪函式idk(n)=n^k\\
狄利克雷卷積單位元ε=[n==1]\ \ \ \ \ 當n=1時ε=1其他等於0 \\
劉維爾函式 λ(n) 關於能整除n的質因子的數目尤拉
函式φ(
n)莫比
烏斯函式
，關於非
平方數的
質因子數
目μ(n
)最大公
因子，當
k固定的
情況gc
d(n,
k)單位
函式id
(n)=
n不變函
數1(n
)=n因
子數目d
(n)d
=1∗1
因子之和
函式σ(
n)σ=
1∗id
因子函式
σk(n
)冪函式
idk(
n)=n
k狄利克
雷卷積單
位元ε=
[n==
1]當n
=1時ε
=1其他
等於0劉
維爾函式
λ(n)
關於能整
除n的質
因子的數
目定理 μ*1=ε
五、莫比烏斯反演
莫比烏斯反演的公式就在上面，通過好確定的g(n)簡化對f(n) 的 求解就是莫比烏斯反演的精髓，而狄利克雷卷積就是到處這個公式（即證明的主要方法）
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
首先設兩個任意函式f x 和f x 定義運算 f x sum f d 這時就可以用f x 表示f x f 1 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 f 3 f 1 f 4 f 4 f 2 f 1 f 5 f 5 f 1 f 6 f 6 f 3 f 2 f 1 這時可以試著用f x 表示f x f ...
莫比烏斯反演
首先 莫比烏斯函式有個性質 d n d 1 n 1 0 n 1 證明 n 1時，不做多餘說明。n 1 根據唯一分解定理，可以分解n ki 1pai i 對於那些含平方因子也就是存在ai 不為1的數，它的函式值為0，對答案沒有任何貢獻。所以我們來看看那些是互異素數乘積的數，每乙個成為它約數的數是什麼樣...
莫比烏斯反演
定理 f n 和f n 是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件f n d nf d 那麼我們得到結論f n d n d f n d 在上面的公式中有乙個函式 d 它的定義如下 1 若d 1，那麼 d 1 2 若d p1 p2 p k 均為互異素數，那麼 d 1 k 3 其它情況下 d 0 對...