本文**知乎大牛。
從定義出發，ax=cx：a為矩陣，c為特徵值，x為特徵向量。
矩陣a乘以x表示，對向量x進行一次轉換（旋轉或拉伸）（是一種線性轉換），而該轉換的效果為常數c乘以向量x（即只進行拉伸）。
我們通常求特徵值和特徵向量即為求出該矩陣能使哪些向量（當然是特徵向量）只發生拉伸，使其發生拉伸的程度如何（特徵值大小）。這樣做的意義在於，看清乙個矩陣在那些方面能產生最大的效果（power），並根據所產生的每個特徵向量（一般研究特徵值最大的那幾個）進行分類討論與研究。
更新與2015.12.02 今天無意中看到了這篇介紹，感覺講的很清晰，特與大家分享！
連線：大學中都學過矩陣，是不是矩陣感覺很抽象，晦澀難懂，和生活實際掛不上邊，其中矩陣有乙個叫特徵向量的東西，只要學過矩陣的，都會求它，但是他是做什麼的，書本上卻沒說，只是說相當有用，但是在何處用，大家只能說 i do not know ,這裡給大家說明下，特徵向量的幾何意義，讓大家一目了然
工具/原料
紙 筆
記得帶著腦子哦
方法/步驟
如果說乙個向量v是方陣a的特徵向量，將一定可以表示成下面的形式：
這時候λ就被稱為特徵向量v對應的特徵值，乙個矩陣的一組特徵向量是一組正交向量。特徵值分解是將乙個矩陣分解成下面的形式：
其中q是這個矩陣a的特徵向量組成的矩陣，σ是乙個對角陣，每乙個對角線上的元素就是乙個特徵值。首先，要明確的是，乙個矩陣其實就是乙個線性變換，因為乙個矩陣乘以乙個向量後得到的向量，其實就相當於將這個向量進行了線性變換。比如說下面的乙個矩陣：
它其實對應的線性變換是下面的形式：
因為這個矩陣m乘以乙個向量(x,y)的結果是：
上面的矩陣是對稱的，所以這個變換是乙個對x，y軸的方向乙個拉伸變換（每乙個對角線上的元素將會對乙個維度進行拉伸變換，當值》1時，是拉長，當值<1時時縮短），當矩陣不是對稱的時候，假如說矩陣是下面的樣子：
它所描述的變換是下面的樣子：
這其實是在平面上對乙個軸進行的拉伸變換（如藍色的箭頭所示），在圖中，藍色的箭頭是乙個最主要的變化方向（變化方向可能有不止乙個），如果我們想要描述好乙個變換，那我們就描述好這個變換主要的變化方向就好了。反過頭來看看之前特徵值分解的式子，分解得到的σ矩陣是乙個對角陣，裡面的特徵值是由大到小排列的，這些特徵值所對應的特徵向量就是描述這個矩陣變化方向（從主要的變化到次要的變化排列）
當矩陣是高維的情況下，那麼這個矩陣就是高維空間下的乙個線性變換，這個線性變化可能沒法通過來表示，但是可以想象，這個變換也同樣有很多的變換方向，我們通過特徵值分解得到的前n個特徵向量，那麼就對應了這個矩陣最主要的n個變化方向。我們利用這前n個變化方向，就可以近似這個矩陣（變換）。也就是之前說的：提取這個矩陣最重要的特徵。總結一下，特徵值分解可以得到特徵值與特徵向量，特徵值表示的是這個特徵到底有多重要，而特徵向量表示這個特徵是什麼，可以將每乙個特徵向量理解為乙個線性的子空間，我們可以利用這些線性的子空間幹很多的事情。不過，特徵值分解也有很多的侷限，比如說變換的矩陣必須是方陣。
注意事項
最後乙個條是關鍵，一定要仔細看
本文**知乎大牛。
從定義出發，ax=cx：a為矩陣，c為特徵值，x為特徵向量。
矩陣a乘以x表示，對向量x進行一次轉換（旋轉或拉伸）（是一種線性轉換），而該轉換的效果為常數c乘以向量x（即只進行拉伸）。
我們通常求特徵值和特徵向量即為求出該矩陣能使哪些向量（當然是特徵向量）只發生拉伸，使其發生拉伸的程度如何（特徵值大小）。這樣做的意義在於，看清乙個矩陣在那些方面能產生最大的效果（power），並根據所產生的每個特徵向量（一般研究特徵值最大的那幾個）進行分類討論與研究。
更新與2015.12.02 今天無意中看到了這篇介紹，感覺講的很清晰，特與大家分享！
連線：大學中都學過矩陣，是不是矩陣感覺很抽象，晦澀難懂，和生活實際掛不上邊，其中矩陣有乙個叫特徵向量的東西，只要學過矩陣的，都會求它，但是他是做什麼的，書本上卻沒說，只是說相當有用，但是在何處用，大家只能說 i do not know ,這裡給大家說明下，特徵向量的幾何意義，讓大家一目了然
工具/原料
紙 筆
記得帶著腦子哦
方法/步驟
如果說乙個向量v是方陣a的特徵向量，將一定可以表示成下面的形式：
這時候λ就被稱為特徵向量v對應的特徵值，乙個矩陣的一組特徵向量是一組正交向量。特徵值分解是將乙個矩陣分解成下面的形式：
其中q是這個矩陣a的特徵向量組成的矩陣，σ是乙個對角陣，每乙個對角線上的元素就是乙個特徵值。首先，要明確的是，乙個矩陣其實就是乙個線性變換，因為乙個矩陣乘以乙個向量後得到的向量，其實就相當於將這個向量進行了線性變換。比如說下面的乙個矩陣：
它其實對應的線性變換是下面的形式：
因為這個矩陣m乘以乙個向量(x,y)的結果是：
上面的矩陣是對稱的，所以這個變換是乙個對x，y軸的方向乙個拉伸變換（每乙個對角線上的元素將會對乙個維度進行拉伸變換，當值》1時，是拉長，當值<1時時縮短），當矩陣不是對稱的時候，假如說矩陣是下面的樣子：
它所描述的變換是下面的樣子：
這其實是在平面上對乙個軸進行的拉伸變換（如藍色的箭頭所示），在圖中，藍色的箭頭是乙個最主要的變化方向（變化方向可能有不止乙個），如果我們想要描述好乙個變換，那我們就描述好這個變換主要的變化方向就好了。反過頭來看看之前特徵值分解的式子，分解得到的σ矩陣是乙個對角陣，裡面的特徵值是由大到小排列的，這些特徵值所對應的特徵向量就是描述這個矩陣變化方向（從主要的變化到次要的變化排列）
當矩陣是高維的情況下，那麼這個矩陣就是高維空間下的乙個線性變換，這個線性變化可能沒法通過來表示，但是可以想象，這個變換也同樣有很多的變換方向，我們通過特徵值分解得到的前n個特徵向量，那麼就對應了這個矩陣最主要的n個變化方向。我們利用這前n個變化方向，就可以近似這個矩陣（變換）。也就是之前說的：提取這個矩陣最重要的特徵。總結一下，特徵值分解可以得到特徵值與特徵向量，特徵值表示的是這個特徵到底有多重要，而特徵向量表示這個特徵是什麼，可以將每乙個特徵向量理解為乙個線性的子空間，我們可以利用這些線性的子空間幹很多的事情。不過，特徵值分解也有很多的侷限，比如說變換的矩陣必須是方陣。
注意事項
最後乙個條是關鍵，一定要仔細看
特徵值和特徵向量的作用
本文 知乎大牛。從定義出發，ax cx a為矩陣，c為特徵值，x為特徵向量。矩陣a乘以x表示，對向量x進行一次轉換 旋轉或拉伸 是一種線性轉換 而該轉換的效果為常數c乘以向量x 即只進行拉伸 我們通常求特徵值和特徵向量即為求出該矩陣能使哪些向量 當然是特徵向量 只發生拉伸，使其發生拉伸的程度如何 特...
特徵值和特徵向量
在剛開始學的特徵值和特徵向量的時候只是知道了定義和式子，並沒有理解其內在的含義和應用，這段時間整理了相關的內容，跟大家分享一下 首先我們先把特徵值和特徵向量的定義複習一下 定義 設a是n階矩陣，如果數 和n維非零向量x使關係式 成立，那麼，這樣的數 稱為矩陣a的特徵值，非零向量x稱為a的對應於特徵值...
特徵值和特徵向量
特徵向量和特徵值在計算機視覺和機器學習中有許多重要的應用。眾所周知的例子是pca 主成分分析 進行降維或人臉識別是特徵臉。特徵向量和特徵值的乙個有趣應用在我的另一篇有關誤差橢圓的博文中提到。此外，特徵值分解形成協方差矩陣幾何解釋的基礎。在這篇文章中，我將簡單的介紹這個數學概念，並且展示如何手動獲取二...