生成樹的定義：對於乙個圖g，獲取g的邊使得所有的頂點都連線到。最小生成樹(mst minimun spanning tree):給定圖g(v,e),以及對應的邊的權重，獲取一顆總權重最小的生成樹。
樹的定義:連線的無環圖找到所有的生成樹，然後計算權重最小的
考慮上面的圖，一但紅色線選定，對於接下了的標號為1,..,n的所有節點點，左右節點都只需要二選一即可得到不同的生成樹，這樣的選擇有
最優子結構:有多個子結構的最優解最終組成整個問題的最優解
貪心演算法的選擇特定，會使得區域性最優解最終也是全域性最優解
假如邊e=是某個mst的一條邊，通過對合併這兩個頂點為乙個新的頂點(這種操作稱作contract e)，將有多條邊同時連線多個頂點的合併成乙個權重最小的邊保留，其它邊的連線形式保持不變。可以證明假設t'是g/e(不包含e的g)的mst，那麼t'u也是g的mst
假設t*(
而w(t'ue)=w(t')+w(e)，所以
因而成立
假設有任意的cut(s,v-s),選取e,使得e是所有crossing cut的最小權重的邊
紅色的線即 crossing cut的邊假設t是g的乙個mst，那麼它必定存在一條邊e'=橫跨s和v/s，由於w(e)<=w(e')，可以構造t'=t/u=w(t)-w(e')+w(e)<=w(t),也就是說t'也是mst，e屬於某個mst。
維護乙個優先順序佇列q，它的節點u.key=min
初始的圖如下
選取節點s in s，其它的為v-s 按照初始化的規則得到
然後獲取最小key的節點，顯然他就是s
獲取s的所有鄰接表，比較crossing cut的邊的權值和當前q中儲存的key的大小，保留小的，得到
再找到q中最小的為a，將兩者記下來
再檢視所有s的鄰接表，更新q的權值，得到
獲取最小值為5,將它放入s中
再次更新q得到
獲取最小是為6，得到
再更新q
最小值為8
更新q得到
最小值為3
更新q得到
最小值為9
更新q得到
最小值為15
最終得到mst為
在整個過程中，涉及v次的從優先順序佇列中獲取最小值，以及邊兩倍次的減少key的值，所以總的時間為
使用斐波那契堆可以達到vl**+e核心思想：全域性最小的corssing cut邊必定屬於最小生成樹，這個過程不能生成環，需要追蹤兩個節點是否已經互相連線了
追蹤的資料結構是 union-find 結構，包含3個功能，make-set:建立乙個集合；find-set:找到當前元素在那個集合；union:合併集合
延伸閱讀 union-find資料結構與ackermann函式在使用union-find資料結構的基礎上能夠做到時間為o(elge+eα(v))，假設權重為正整數而且最大值是個常量，那麼排序可以達到常量的時間，這個時候，演算法所需要的時間就是o(e),整體不prims演算法要好
最快的mst 演算法執行期望時間是o(v+e),karger, klein, and tarjan 1993發明
貪心演算法 最小生成樹 Prim演算法
乙個無向帶權圖g v,e 其中n個頂點vertex，以及連線各個頂點之間的邊edge，可能有些頂點之間沒有邊，每條邊上的權值都是非負值。生成樹 g的乙個子圖，包含了所有的vertex，和部分的edge。最小生成樹 所有的生成樹中，各條edge上的權值總和最小的乙個。例子 設計通訊網路時，各個城市之間...
貪心演算法 最小生成樹 Kruskal演算法
關於最小生成樹的概念，請參考前一篇文章 prim演算法。kruskal演算法 不停地迴圈，每一次都尋找兩個頂點，這兩個頂點不在同乙個真子集裡，且邊上的權值最小。把找到的這兩個頂點聯合起來。初始時，每個頂點各自屬於自己的子集合，共n個子集合。每一步操作，都會將兩個子集合融合成乙個，進而減少乙個子集合。...
貪心演算法之Prim最小生成樹
滿足貪心演算法的條件是都滿足動態規劃的，只是貪心演算法的條件更強，不僅前乙個步驟的解可以用到後一步，而且前一步的解是子問題的最優解，最後能夠得到全域性的最優解。prim演算法是乙個求最小生成樹的演算法。表示圖g 有鄰接表 用於稀疏矩陣 和鄰接矩陣 用於稠密矩陣 下面我給的例項適合用稀疏矩陣。聽了大概...