pick定理及其證明 結論
在乙個平面直角座標系內，以整點為頂點的簡單多邊形，設其內部整點數為a
aa，邊上(包括頂點)的整點數為b
bb，則它的面積s=a
+b2−
1s = a+\frac b2-1
s=a+2b
−1
證明三角形
由上可知所有在邊上和內部都沒有點的三角形面積一定為1
2\frac 12
21，定理成立。通過第二數學歸納法證明對於其它三角形定理同樣成立：
綜上，對於三角形pic
kpick
pick
定理成立。
多邊形將簡單多邊形分成若干三角形：
每次任意取多邊形一條對角線連線將其分成兩個新的小多邊形。
設對角線上共有k
kk個整點。分開前貢獻為((a
−(k−
2))+
(k−2
))+(
b−2)
+22−
1=a+
b2−1
((a-(k-2))+(k-2))+\frac-1=a+\frac b2-1
((a−(k
−2))
+(k−
2))+
2(b−
2)+2
−1=
a+2b
−1，分開後貢獻為(a−
(k−2
))+b
−2+2
k2−2
=a+b
2−
1(a-(k-2))+\frac-2=a+\frac b2-1
(a−(k−
2))+
2b−2
+2k
−2=a
+2b
−1。以此類推，簡單多邊形分成若干三角形後分別計算值不變。
得證。例題
poj2954
直接套公式即可。
farey序列是指把在0
00到1
11之間的所有分母不超過n
nn的分數從小到大排列起來所形成的數列。
性質：前一項的分母乘以後一項的分子，一定比前一項的分子與後一項分母之積大1。
用p ic
kpick
pick
定理證明：
把分母不超過n的每乙個0
00和1
11之間的分數都標在平面直角座標系上(b
a\frac ba
ab對應(a,
b)
(a,b)
(a,b
))。考慮一根從原點出發的射線從x
xx軸正方向逆時針旋轉依次掃過的標記點就是farey序列。
考慮對於相鄰掃到的兩個標記點和原點構成的三角形，由於是最簡分數，所以三角形邊上沒有整點，且相鄰說明三角形內部沒有整點，所以三角形面積為1
2\frac 12
21。三角形面積等於叉積的一半，得證。
最酷的證明 Pick定理另類證法
難以想像，一段小小的證明竟然能比乙個瘦小的留著長頭髮穿黑色短袖t恤緊身牛仔褲邊跳邊彈結他的mm還要酷。原來一直以為這個證明已經很酷了，現在顯然我已經找到了乙個更酷的證明。pick定理是說，假設平面上有乙個頂點全在格點上的多邊形p，那麼其面積s p 應該等於i b 2 1，其中i為多邊形內部所含的格點...
最酷的證明 Pick定理另類證法
難以想像，一段小小的證明竟然能比乙個瘦小的留著長頭髮穿黑色短袖t恤緊身牛仔褲邊跳邊彈結他的mm還要酷。原來一直以為這個證明已經很酷了，現在顯然我已經找到了乙個更酷的證明。pick定理是說，假設平面上有乙個頂點全在格點上的多邊形p，那麼其面積s p 應該等於i b 2 1，其中i為多邊形內部所含的格點...
日常訓練 多邊形（Pick 定理）
s a b2 1s a frac 1 s a 2b 1 e a e s e b 2 1e a e s frac 1 e a e s 2e b 1 1.求 e s 2.求 e b e b e b 引理二 任意格點三角形滿足 pick s theorem text pick s theorem 根據引理...