Prufer序列 生成樹定理

在圖論中，樹的定義是連通且無環的無向圖。對於一棵有 n

n 個節點且節點從 1

1 到 n

n 編號的樹，它的 prufer 序列是乙個唯一的長為 n−2

n−2 的標號序列。 prufer 序列的構造方法：每次刪除樹中標號最小的葉子節點（即度為 1

1 的節點），將該點的鄰居加到當前 prufer 序列的末尾，直到只剩兩個節點為止。

例子：

給定乙個 n

n 個頂點（從 1

1 到 n

n 標號）， m

m 條邊的無向圖 gg（g

g 中無重邊或自環）。隨機選擇 g

g 的一棵生成樹，計算他的 prufer 序列的和 s

s，重複元素只算一次。 請計算隨機變數 s

s 的期望。注意，g

g 的生成樹或某棵生成樹的 prufer 序列都可能不存在，這種情況下，我們認為隨機變數 s

s 的值為 00。

為了避免精度問題， 算出實際的期望值乘以圖 g

g 的不同生成樹的數目以後的值即可。 這個值可能很大，請輸出它對 109+

7109+7

取模以後的值。

每個輸入檔案包含多組測試資料。輸入檔案的第一行是測試資料組數 t

t (t≤10

t≤10

)。 對於每組測試資料，第一行是兩個整數 n,m

n,m (3≤n

≤100,0

≤m≤(

n−1)

n23≤n≤100,0≤m≤(n−1)n2

），分別是圖的點數和邊數；接下來 m

m 行，每行包含兩個整數 u,v

u,v（1≤u

,v≤n

1≤u,v≤n，u≠

vu≠v

），表示圖中的一條邊。

輸出 t

t 行，每行是對應的答案。

1

3 31 2
2 31 3

6

題解：這樣的話，對於每一顆生成樹，我們可以把所有的點全都加進去，然後再減去葉子結點的和。

我們不可能找到所有的生成樹然後乙個乙個的計算，因此我們用矩陣樹定理來做。

我們先計算圖所有的點的和，並且乘以生成樹的數量，把他們放在sum裡。然後再把所有的葉子結點減去，就好了

如果乙個葉子節點出現在一顆子樹裡，那麼把這個點去掉，仍然可一得到圖的該生成樹，而如果這個點是內部節點就不行了。

注意：如果這個葉子節點的度不為1，那麼要用這個葉子節點的度數乘以生成樹的數量，才是這個葉子節點對應生成樹的個數。

sum -= 去掉該節點生成樹的數量*該節點的度*該節點的值。

最後得到的sum就是答案

**：

#include。

#include#include using namespace std;
#define zero(x)((x>0? x:-x)<1e-15)
#define int long long
int const maxn = 105;
const int mod = 1e9 + 7;
int a[maxn][maxn];
int b[maxn][maxn];
int g[103][103];
int d[105];
int n, m;
int det(int a[maxn][maxn], int n)
prep(n,-1);
int sum = det(a,n-1)*((1+n)*n/2) % mod;
for(int i = 0;i < n-1;i++)
{			prep(n,i);
sum = (sum - (i+1)*d[i] % mod * det(a,n-1) % mod + mod)%mod;
//cout<

prufer序列複習小結

快要省選了。抽點時間複習一下東西 以免漏了一些東西 為了在省選之前覺得自己什麼都會 每一次選擇乙個編號最小，並且度數為1的點 把它刪掉 然後讓他唯一連向的點加入prufer序列 如果只有兩個點就結束 這個的話，你可以理解為有乙個陣列a 表示每乙個數在prufer裡面出現的次數 然後每一次，你就選出p...

Prufer序列相關

最近做到一些題，用到了prufer序列，挺有用的，在這裡學習一下。prufer數列是無根樹的一種數列，通過乙個prufer序列可以唯一表示一棵頂點帶標號的無根樹，點數為n的樹轉化來的prufer數列長度為n 2，它有很多的性質 一種生成prufer序列的方法是迭代刪點，直到原圖僅剩兩個點。對於一棵頂...

prufer 序列 學習筆記

上周五看了一下，發現不是很難，今天再看了一眼，把板題做了，順便看了另外一道 懶得碼了 其實很簡單，我們定義一顆無根樹的 prufer 序列為，欽定任意乙個點為根 方便確定父子關係 每次從葉子中選出乙個編號最小的點，把它的父親加入到 prufer 序列中，並刪掉該節點。不難看出，我們最後會有 n 2 ...