剖析遞迴行為和遞迴行為時間複雜度的估算
乙個遞迴行為的例子
t(n) = a*t(n/b) + o(n^d)
1) log(b,a) > d -> 複雜度為o(n^log(b,a))
2) log(b,a) = d -> 複雜度為o(n^d * logn)
3) log(b,a) < d -> 複雜度為o(n^d)
補充閱讀：www.gocalf.com/blog/algorithm-complexity-and-mastertheorem.html
t(n)表示父問題樣本量，t(n/b)表示被拆成子問題的樣本量，a表是一共發生多少次，o(n^d)表示除去呼叫子過程之外，剩下的代價是多少。
什麼時候用master公式：劃分成子過程的規模是一樣的
舉例：從乙個陣列中找最大值
思路：將陣列分為左右倆部分，左邊（l）最大值和右邊（r）最大值比較，最大的數就是最大值。具體**如下：
public static void main(string args) ;
system.out.println(getmax(arr,0,arr.length-1));
}private static int getmax(int arr, int l, int r)
int mid = (l+r)/2;
//maxleft這個引數指望著 getmax方法返回 儲存所有的遞迴資訊，將所有的引數，所有的變數壓入棧中
int maxleft = getmax(arr, l, mid);
int maxright = getmax(arr, mid + 1, r);
return math.max(maxleft,maxright);
}
在找出陣列最大值的過程中，有等式t(n)= 2*t(n/2)+o(1)，樣本量為n/2的過程跑了2次，當跑完這個子過程後，比對較大的數並且返回，是乙個常數操作，時間複雜度為o(1)。
所以式子一中 t(n)表示原始大小樣本量，n/b 表示子過程的樣本量，o(n^d)表示除去呼叫子過程之外，剩下的代價是多少。
所以，例子中a=2，b=2，d=0
時間複雜度o(n*logn)，額外空間複雜度o(n)
歸併排序在上面講解了遞迴行為就很簡單了。乙個陣列先左側部分排好序，再右側部分排好序。然後整體利用外排的方式排好序。
假設乙個陣列：5，3，6，）2，0，1，
0）先左側排好序，再右側排好序，整體再排好序。左側部分排好序是3,5,6，而右側部分排好序是0,1,2，接下來整體排序。
1）準備乙個輔助陣列，採用外排方式
2）左邊部分準備乙個下標a指向3，右邊準備乙個下標b指向0，哪乙個小，就向輔助陣列插入
則分析公式t(n)= at（n/b）+o(n^d)，其中a=2，b=2，d=1，所以歸併排序時間複雜度為o(n*logn)
具體**如下：
public static void mergesort(int arr)
mergesort(arr, 0, arr.length - 1);
}public static void mergesort(int arr, int l, int r)
int mid = l + ((r - l) >> 1);
mergesort(arr, l, mid);
mergesort(arr, mid + 1, r);
merge(arr, l, mid, r);
}public static void merge(int arr, int l, int m, int r)
//當p2已經到達陣列末尾，繼續填充p1，倆個必有且只有乙個越界
while (p1 <= m)
while (p2 <= r)
//將help陣列填回arr
for (i = 0; i < help.length; i++)
}
例子：[1,3,4,2,5]
1左邊比1小的數，沒有；
3左邊比3小的數，1；
4左邊比4小的數，1、3；
2左邊比2小的數，1；
5左邊比5小的數，1、3、4、2；
所以小和為1+1+3+1+1+3+4+2=16
在乙個陣列中，左邊的數如果比右邊的數大，則折兩個數構成乙個逆序對，請列印所有逆序對。
這種題可以用歸併排序做出解，問題的實質：如果當前數是current，我們找的是，我們查詢右邊有多少個數比current大，個數*current
舉例：陣列1,3,4,2,5
1）先分成左右部分，長度為奇數，左部分可以是3個，也可以是2個，假設分成左邊3個。左邊1，3，4，右邊2，5
2）1,3,4再分治，分為1,3和4；2,5拆成2和5
3）1,3分為1,3
4）merge過程中求所有的小和。
5）準備輔助陣列，拷貝1,3，計算小和 1
6）merge1,3和 4，準備乙個輔助陣列， 計算小和 1,3
右側部分同理，產生小和2
左側1,3,4，右側2,5進行最後merge過程產生小和，
1）準備乙個輔助陣列，左側a指向1，右側b指向2
2）a比b小，在右側有 多少個比1 大 ，包括2在內有2個數 ，產生 2*1的小和
3）a來到3位置，b是2，a是3，不產生任何小和，然後b來到5位置
4）3比5小，產生乙個 1*3 的小和，同時a來到4位置
5）產生乙個 1*4 的小和
具體**如下：
public static int smallsum(int arr)
return mergesort(arr, 0, arr.length - 1);
}public static int mergesort(int arr, int l, int r)
int mid = l + ((r - l) >> 1);
//左側部分小和+右側部分小和+合併過程產生的小和
return mergesort(arr, l, mid) + mergesort(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
}public static int merge(int arr, int l, int m, int r)
while (p1 <= m)
while (p2 <= r)
for (i = 0; i < help.length; i++)
return res;
}
能夠形成1,2,3說明1在當時merge的時候已經計算了
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