網路流之SAP演算法學習

終於決定開始學習網路流了=.=

《圖論演算法理論、實踐與應用》那本書講了很多關於求最大流的演算法，然後我就只挑了一種傳說中神奇的sap演算法學習。

首先引入幾個新名詞：

1、距離標號：

所謂距離標號 ，就是某個點到匯點的最少的弧的數量（即邊權值為1時某個點到匯點的最短路徑長度）。

設點i的標號為level[i]，那麼如果將滿足level[i]=level[j]+1的弧(i,j)叫做允許弧 ，且增廣時只走允許弧。

2、斷層（本演算法的gap優化思想）：

gap[i]陣列表示距離標號為i的點有多少個，如果到某一點沒有符合距離標號的允許弧，那麼需要修改距離標號來找到增廣路；

如果重標號使得gap陣列中原標號數目變為0，則演算法結束。

sap演算法框架：

1、初始化；

2、不斷沿著可行弧找增廣路。可行弧的定義為;

3、當前節點遍歷完以後，為了保證下次再來的時候有路可走，重新標號當前距離，level[i]=min(level[j]+1);

該演算法最重要的就是gap常數優化了。

下面對hdu 1532貼上模版：

鄰接矩陣：

1 #include2 #include3 #include4

using
namespace
std;
5#define maxn 222
6#define inf 100000000+1000
7int map[maxn][maxn];//存圖8
int pre[maxn];//
記錄當前點的前驅
9int level[maxn];//
記錄距離標號
10int gap[maxn];//
gap常數優化
11int
nv,ne;
1213
//入口引數vs源點，vt匯點
14int sap(int vs,int
vt)26}27
if(v<=vt)
36                 maxflow+=aug;
37//
更新殘留網路
38for(int i=v;i!=vs;i=pre[i])
42                 u=vs;//
從源點開始繼續搜43}
44         }else52}
53             gap[level[u]]--;//
(更新gap陣列）當前標號的數目減1；
54if(gap[level[u]]==0)break;//
出現斷層
55             level[u]=minlevel+1
;56             gap[level[u]]++;
57             u=pre[u];58}
59}60return
maxflow;61}
6263
intmain()
71         printf("
%d\n
",sap(1
,n));72}
73return0;
74}7576
7778
7980
8182

1 #include2 #include3 #include4 #include5

using
namespace
std;
6#define maxn 444 //
鄰接表要開邊數的2倍78
struct
edgeedge[maxn];
11int level[maxn];//
標記層次（距離標號）
1213
//間隙優化，定義gap[i]為標號是i的點的個數
14//
在重標記i時，檢查gap[level[i]],若減為0,這演算法結束。
15int
gap[maxn];
1617
int pre[maxn];//
前驅18
intcur[maxn];
19int
head[maxn];
20int
nv,ne;
2122
//ne為邊數，初始化為0；
23void insert(int u,int v,int cap,int cc=0)30
3132
//引數，源點，匯點
33int sap(int vs,int
vt)61                     aug=-1;62
}63goto
loop;64}
65}66int minlevel=nv;
67//
尋找與當前點相連線的點中最小的距離標號（重標號）
68for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)74}
75if((--gap[level[u]])==0)break;//
更新gap陣列後如果出現斷層，則直接退出。
76         level[u]=minlevel+1;//
重標號77         gap[level[u]]++;//
距離標號為level[u]的點的個數+1;
78         u=pre[u];//
轉當前點的前驅節點繼續尋找可行弧79}
80return
maxflow;
81} 
8283
intmain()
93         printf("
%d\n
",sap(1
,nv));94}
95return0;
96 }

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