在隨機變數中，我提到了連續隨機變數。相對於離散隨機變數，連續隨機變數可以在乙個連續區間內取值。比如乙個均勻分布，從0到1的區間內取值。乙個區間內包含了無窮多個實數，連續隨機變數的取值就有無窮多個可能。
為了表示連續隨機變數的概率分布，我們可以使用累積分布函式或者密度函式。密度函式是對累積分布函式的微分。連續隨機變數在某個區間內的概率可以使用累積分布函式相減獲得，即密度函式在相應區間的積分。
在隨機變數中，我們了解了一種連續分布，即均勻分布(uniform distribution)。這裡將羅列一些其他的經典連續分布。
指數分布(exponential distribution)的密度函式隨著取值的變大而指數減小。
指數分布的密度函式為:
$$f(x) = \left\ \lambda e^ & if & x \ge 0 \\ 0 & if & x < 0 \end \right.$$
累積分布函式為:
$$f(x) = 1 - e^, x \ge 0$$
我們繪製乙個指數分布[$\lambda = 0.2$]，如下:
這樣一種分布在生活中很常見。比如，洪水等級的分布就類似於這樣乙個分布。小等級的洪水常發生，而大洪水發生的概率則很小。再比如，金礦的分布：大部分礦石的含金量少，而少部分礦石的含金量高。這提醒我們，一些特殊的條件導致了指數分布。感興趣的話可以學習「隨機過程」這一數學分支。
**如下:
from scipy.stats import上面的expon函式接收乙個引數scale。引數scale等於[$1/\lambda$]expon
import
numpy as np
import
matplotlib.pyplot as plt
rv = expon(scale = 5)
x = np.linspace(0, 20, 100)
plt.plot(x, rv.pdf(x))
plt.xlim([0, 15])
plt.title(
"exponential distribution")
plt.xlabel("rv
")plt.ylabel(
"f(x)")
plt.show()
指數分布是無記憶(memoryless)的。我們以原子衰變為例。任意時刻往後，都需要10年的時間，會有一半的原子衰變。已經發生的衰變對後面原子衰變的概率分布無影響。用數學的語言來說，就是
$$p(x > s) = p(x > s+t | x>t), for\, s,t \ge 0$$
等式的左邊是原子存活了s的概率。而等式的右邊是某一時刻t之後，原子再存活s時間的概率。可以利用指數分布的累積分布函式，很容易的證明上面的等式。指數分布經常用於模擬人的壽命或者電子產品的壽命，這意味著我們同樣假設這些分布是無記憶的。乙個人活10年的概率和乙個人到50歲後，再活10年的概率相等。這樣的假設有可能與現實情況有所出入，需要注意。
正態分佈(normal distribution)是最常用到的概率分布。正態分佈又被稱為高斯分布(gauss distribution)，因為高斯在2023年使用該分布來**星體位置。吐槽一句，第乙個提出該分布的並不是數學王子高斯，而是法國人de moivre。作為統計先驅，這位數學家需要在咖啡館「**」，為賭徒計算概率為生。(看來法國咖啡館不止有文藝青年，也有技術屌絲啊。)
正態分佈的發現來自於對誤差的估計。早期的物理學家發現，在測量中，測量值的分布很有特點：靠近平均值時，概率大；遠離平均值時，概率小。比如我們使用尺子去測量同乙個物體的長度，重複許多次。如果沒有系統誤差，那麼測量到的長度值是乙個符合正態分佈的隨機變數。再比如，在電子訊號中白噪音，也很有可能符合正態分佈。de moivre最早用離散的二項分布來趨近這一分布，而高斯給出了這一分布的具體數學形式。
正態分佈自從一出生就帶著無比強大的「主角光環」，它的特殊地位在後面文章中的中心極限定理中凸顯出來。
正態分佈的密度函式如下:
$$f(x) = \frac\sigma}e^, -\infty < x < \infty$$
正態分佈有兩個引數，[$\mu$]和[$\sigma$]。我們可以將正態分佈表示成[$n(\mu, \sigma)$]。當[$\mu = 0$]，[$\sigma = 1$]，這樣的正態分佈被稱作標準正態分佈(standard normal distribution)。
我們繪製三個正態分佈的密度函式:
可以看到，正態分佈關於[$x = \mu$]對稱，密度函式在此處取得最大值，並隨著偏離中心而遞減。如果以測量長度為例，這說明的讀取值靠近[$\mu$]的可能性較大，而偏離[$\mu$]的可能性變小。
[$\sigma$]代表了概率分布的離散程度。[$\sigma$]越小，概率越趨近對稱中心[$x = \mu$]。
**如下:
#正態分佈在統計中有非常重要的地位。我們將在後面的中心極限理論的講解中，看到這一點。by vamei
from scipy.stats import
norm
import
numpy as np
import
matplotlib.pyplot as plt
rv1 = norm(loc=0, scale = 1)
rv2 = norm(loc=2, scale = 1)
rv3 = norm(loc=0, scale = 2)
x = np.linspace(-5, 5, 200)
plt.plot(x, rv1.pdf(x), label="
n(0,1)")
plt.plot(x, rv2.pdf(x), label="
n(2,1)")
plt.plot(x, rv3.pdf(x), label="
n(0,2)")
plt.legend()
plt.xlim([-5, 5])
plt.title(
"normal distribution")
plt.xlabel("rv
")plt.ylabel(
"f(x)")
plt.show()
gamma分布在統計推斷中具有重要地位。它的密度函式如下:
$$g(t) = \fract^e^, t \ge 0$$
其中的gamma函式可以表示為:
$$\gamma(x) = \int \limits_^ u^e^du, x>0$$
注意到，gamma分布有兩個控制引數[$\alpha$]和[$\lambda$]。
練習，利用scipy.stats.gamma繪製[$\alpha = 1, \lambda = 1$]和[$\alpha = 5, \lambda = 1$]的gamma分布密度函式。
我們研究了三種連續隨機變數的分布，並使用概率密度函式的方法來表示它們。密度函式在數學上比較容易處理，所以有很重要的理論意義。
密度函式在某個區間的積分，是隨機變數在該區間取值的概率。這意味著，在密度函式的繪圖中，概率是曲線下的面積。
概率論複習 基礎概率分布
概率論複習 基礎概率分布 發現對概率論的基本概念理解不是很深入，導致看後面的東西時常有些莫名其妙的疑惑，回頭來看看概率論與統計 cdf其定義為 f x x p x x 正如統計學完全教程裡說的，這個cdf函式是很有迷惑性的，有必要仔細理解它。我以前每次看這個表示式都是一閃而過，沒有好好理解，而它的真...
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理解分布函式 概率論
概率論中乙個非常重要的函式就是分布函式，知道了隨機變數的分布函式，就知道了它的概率分布，也就可以計算概率了。一 理解好分布函式的定義 f x p x x 所以分布函式在任意一點x的值，表示隨機變數落在x點左邊 x x 的概率。它的定義域是 值域是 0,1 二 掌握好分布函式的性質 1 0 f x 1...