作者 王垠
我在 cornell 的時候經常遇到這樣的問題，那就是教授們一上課就在黑板上寫長篇的「定理證明」，全體同學認認真真在下面抄筆記，就連只有十來個人的小課也是那樣。有些寫字速度慢的人就不得不帶上小型錄音機，把教授的課全都錄下來，要不就是之後去借別人的筆記來抄。
有一次某知名教授照著講義，背對著學生，在黑板上寫了大半節課，寫下好幾板的證明，證明的是 simply typed lambda calculus （stlc）的 strong normalization 特性（sn）。剛寫完就到下課時間了，他回過頭來喘了一口氣，說：「any questions？」沒有人啃聲，於是他說：「很好！下課！」
幾天後我問他，你證明了 stlc 有這個特性，然而你卻沒有告訴我它「為什麼」有這個特性。他神氣的看了我一眼：「你不懂嗎？」我說：「你的證明我看懂了大部分，可是乙個東西具有如此的性質，並不是因為你證明了它。這性質是它天生就有的，不管你是否能證明它。我想知道的是什麼讓 stlc 具有這個性質，而不只是證明它。」他說：「你問這樣的問題有什麼意義嗎？你需要非常聰明，並且需要經過大量的努力才能想出這樣的證明。」
兩年之後，我在 indiana 上了另外一堂程式語言理論課。教授是我之前的導師 amr sabry。他上課從來不帶講義，貌似也沒有準備，漫不經心的，卻每次都能講清楚問題的關鍵。於是有一天他也開始講 stlc 的 sn 特性。他說，我不想寫下這個證明讓你們抄，我只告訴你們大概怎麼去想。sn 的意思就是程式肯定會「終止」。所有會終止的程式，都會有乙個「特徵值」會隨著程式的執行而減小。你需要做的就是找到 stlc 的「特徵值」是什麼。接著他就開始在黑板上畫乙個圖……
過了一段時間，我不僅學會了這個「證明」，而且知道了 stlc 具有如此特性的「原因」。
從以上的故事，以及你的親身經歷中，你也許注意到了大部分的教育過分的重視了「證明」，卻忽略了比證明更重要的東西——「原因」。
原因往往比證明來得更加簡單，更加深刻，但卻更難發現。對於乙個事實往往有多種多樣的證明，然而導致這個事實的原因卻往往只有乙個。如果你只知道證明卻不知道原因，那你往往就被囚禁於別人製造的理論裡面，無法自拔。你能證明乙個事物具有某種特性，然而你卻沒有能力改變它。你無法對它加入新的，好的特性，也無法去掉乙個不好的特性。你也無法發明新的理論。有能力發明新的事物和理論的人，他們往往不僅知道「證明」，而且知道「原因」。
打個比方。證明與原因的區別，就像是犯罪的證據與它的原因的區別。證據並不是導致犯罪的原因。有了證據可以幫助你把罪犯繩之以法，可是如果你找不到他犯罪的原因，你就沒法防止同樣的犯罪現象再次發生。
古人說的「知其然」與「知其所以然」的區別，也就是同樣的道理吧。
原因與證明
我在 cornell 的時候經常遇到這樣的問題，那就是教授們一上課就在黑板上寫長篇的 定理證明 全體同學認認真真在下面抄筆記，就連只有十來個人的小課也是那樣。有些寫字速度慢的人就不得不帶上小型錄音機，把教授的課全都錄下來，要不就是之後去借別人的筆記來抄。有一次某知名教授照著講義，背對著學生，在黑板上...
王垠 原因與證明
我在 cornell 的時候經常遇到這樣的問題，那就是教授們一上課就在黑板上寫長篇的 定理證明 全體同學認認真真在下面抄筆記，就連只有十來個人的小課也是那樣。有些寫字速度慢的人就不得不帶上小型錄音機，把教授的課全都錄下來，要不就是之後去借別人的筆記來抄。有一次某知名教授照著講義，背對著學生，在黑板上...
基礎 邏輯和證明
命題 是乙個陳述句 陳述事實的的語句 或真或假，但不能既真又假。復合命題 由已知命題用邏輯運算子組合而來。定義一 令p為命題，則p的否定記做 p，指 不是p所指的情況 定義二 令p q為命題，p q的合取即命題 p並且q 記做 p q 與運算 只有p q同時為真時，p q才真 同真才真，一假則假 定...