數學期望即均值給出了隨機變數的平均大小，然而我們還常常關心隨機變數的取值在均值周圍的散布程度.比如在考察乙個地區農民的貧富情況時，我們不但關心農民的人均年收入，還關心各個農民的個人年收入與人均年收入的偏離程度.例如有甲、乙兩個鄉的人均年收入都是6000元，而兩個鄉農民的個人年收入的總的情況卻不一樣，甲鄉各人的年收入大多集中在6000元附近，而乙鄉農民的個人年收入與6000元的偏離程度較大，即貧富差別較大（取相同積分區域啊a,b，顯然曲線甲在6000左右的這個積分區間的積分值更大，說明收入差距小，更多的人收入趨近於期望值）.
定義 設x是隨機變數，若e存在，稱它為x的方差，記為d（x）或var（x），即d（x）=var（x）=e｛［x-e（x）］2｝.方差的算術平方根稱為x的均方差或標準差.
如果對於方差和離散度還沒有直觀的認識，我們用下面的圖來說明。
下圖以高斯分布為例，期望值為500，標準差分別為50,100,150,200時候的曲線。可見方差越小，資料越集中，反之越分散。
生成該影象的python**如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy as sp
deffgauss
(x,mean,variance)
:return1/
(sp.sqrt(
2*sp.pi)
*variance)
*pow
(sp.e,-1
*(x-mean)**2
/(2*variance**2)
)mean=
500variance=[50
,100
,150
,200
]for i in
range(4
):gauss_data=
for j in
range
(1000):
))plt.plot(gauss_data,label=
"variance=%d"
%variance[i]
) plt.legend(
)plt.show(
)
d(x)=\sum_^\infty\left[x_k-e\left(x\right)\right]^2p_k&x\mathrm\\\int_^\infty\left[x-e\left(x\right)\right]^2f\left(x\right)\operatorname dx&x\mathrm\end\right.
}
k!λke−
λ
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