1. $(10')$ 在 $\bbr^3$ 上定義線性變換 $\scra,\ \scra$ 在自然基 \[\varepsilon_1=\left(\begin 1\\ 0\\ 0\end\right),\varepsilon_2=\left(\begin 0\\ 1\\ 0\end\right),\varepsilon_3=\left(\begin 0\\ 0\\ 1\end\right)\] 下的矩陣為 \[\left(\begin 0&1&-1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end\right)\] 求 $\bbr^3$ 的一組基, 使得 $\scra$ 在這組基下具有 jordan 型.
2. $(10')$ $3$ 階實矩陣 $a$ 的特徵多項式為 $x^3-3x^2+4x-2$. 證明$a$ 不是對稱陣也不是正交陣.
3. $(15')$ 在所有 $2$ 階實方陣上定義二次型 $f$:$x\rightarrow \tr(x^2)$, 求 $f$ 的秩和符號差.
4. $(15')$ 設 $v$ 是有限維線性空間, $\scra,\scrb$ 是 $v$ 上線性變換滿足下面條件:
(1) $\scra\scrb=\scro$;
(2) $\scra$ 的任意不變子空間也是 $\scrb$ 的不變子空間;
(3) $\scra^5+\scra^4+\scra^3+\scra^2+\scra=\scro$.
證明 $\scrb\scra=\scro$.
5. $(15')$ 設 $v$ 是全體次數不超過 $n$ 的實係數多項式組成的線性空間. 定義線性變換$\scra$:$f(x)\rightarrow f(1-x)$. 求 $\scra$ 的特徵值和對應的特徵子空間.
6. $(15')$ 計算行列式.各行底數為等差數列,各列底數也為等差數列,所有指數都是$50$: \[\left|\begin 1^&2^&3^&\cdots &100^\\ 2^&3^&4^&\cdots &101^\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 100^&101^&102^&\cdots& 199^\\\end\right|.\]
7. $(20')$ 設 $v$ 是複數域上有限維線性空間, $\scra$ 是 $v$ 上可線性變換, $\scra$ 在一組基下矩陣為 $f$. 證明:
(1) 若 $\scra$ 可對角化, 對任意 $\scra$ 的不變子空間 $u$, 存在$u$ 的乙個補空間 $w$ 是 $\scra$ 的不變子空間;
(2) 若對任意 $\scra$ 的不變子空間 $u$, 存在 $u$ 的乙個補空間 $w$ 是 $\scra$ 的不變子空間,證明 $f$ 可對角化.
8. $(20')$ 平面上乙個可逆仿射變換將乙個圓映為橢圓或圓. 詳細論證這一點.
9. $(15')$ 平面 $ax+by+cz+d=0$ 與雙曲拋物面 $2z=x^2-y^2$ 交於兩條直線. 證明 $a^2-b^2-2cd=0$.
10. $(15')$ 正十二面體有 $12$ 個面, 每個面為正五邊形, 每個頂點連線 $3$ 條稜. 求它的內切球與外接球半徑比.
北京大學2023年高等代數與解析幾何考研試題
1.10 在 bbr 3 上定義線性變換 scra,scra 在自然基 varepsilon 1 left begin 1 0 0 end right varepsilon 2 left begin 0 1 0 end right varepsilon 3 left begin 0 0 1 end ...
2023年高被引學者 陳寶權 北京大學
2020年高被引學者 陳寶權，北京大學資訊科學技術學院教授，前沿計算研究中心執行主任，ieee fellow，973首席科學家，國家 萬人計畫 領軍人才，ccf會士。研究興趣集中在計算機圖形學，視覺化和人機互動方面，尤其側重於大型城市建模，模擬和視覺化。曾任acm siggraph asia 201...
中國科學院大學2023年高等代數考研試題
來自陶哲軒小弟.1.計算行列式 bex d sevm frac cdots frac frac frac cdots frac vdots vdots ddots vdots frac frac cdots frac eex 2.二次型 bex f x 1,x 2,x 3 5x 1 2 5x 2 2...