在三維圖形學中，幾何變換大致分為三種，平移變換（translation），縮放變換（scaling），旋轉變換（rotation）。以下討論皆針對directx，所以使用左手座標系。
將三維空間中的乙個點[x, y, z, 1]移動到另外乙個點[x', y', z', 1]，三個座標軸的移動分量分別為dx=tx, dy=ty, dz=tz, 即
x' = x + tx
y' = y + ty
z' = z + tz
平移變換的矩陣如下。
將模型放大或者縮小，本質也是對模型上每個頂點進行放大和縮小（頂點座標值變大或變小），假設變換前的點是[x, y, z, 1]，變換後的點是[x', y', z', 1]，那麼
x' = x * sx
y' = y * sy
z' = z * sz
縮放變換的矩陣如下。
這是三種變換中最複雜的變換，這裡只討論最簡單的情況，繞座標軸旋轉，關於繞任意軸旋轉，在後續的隨筆中介紹。
繞x軸旋轉時，頂點的x座標不發生變化，y座標和z座標繞x軸旋轉θ度，旋轉的正方向為順時針方向（沿著旋轉軸負方向向原點看）。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x', y', z', 1]表示變換後的點。變換矩陣如下。
關於旋轉的正方向，opengl與多數圖形學書籍規定旋轉正方向為逆時針方向（沿著座標軸負方向向原點看），比如computer graphics c version，p409。
繞y軸旋轉時，頂點的y座標不發生變化，x座標和z座標繞y軸旋轉θ度。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x', y', z', 1]表示變換後的點。變換矩陣如下。
繞z軸旋轉時，頂點的z座標不發生變化，x座標和y座標繞z軸旋轉θ度。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x', y', z', 1]表示變換後的點。變換矩陣如下。
上面三個旋轉矩陣是如何得來的呢？我們推導一下，首先看一下二維的情況，再擴充套件到三維即可。實際上上面三種繞座標軸旋轉的情況屬於特殊的二維旋轉，比如繞z軸旋轉，相當於在與xoy平面上繞原點做二維旋轉。
假設點p(x, y)是平面直角座標系內一點，其到原點的距離為r，其與x軸的夾角為a，現將點p繞原點旋轉θ度，得到點p'(x', y')，p'與x軸的夾角為b，則a = b - θ。（注意，在二維座標中，逆時針旋轉時角度為正，順時針旋轉時角度為負，下圖中由p旋轉到p'，角度為θ，若是由p'轉到p，則角度為-θ）。
於是可得下面的轉換方程
寫成矩陣的形式就是
求得旋轉矩陣為
由於這裡使用齊次座標，所以還需加上一維，最終變成如下形式
和前面給出的繞z軸旋轉矩陣完全吻合。
對於繞x軸旋轉的情況，我們只需將式一中的x用y替換，y用z替換，z用x替換即可。替換後得到
對應的旋轉矩陣為
對於繞y軸旋轉的情況，只需對式二做一次同樣的替換即可，的到的變換方程為
對應的變換矩陣為
平移變換矩陣的逆矩陣與原來的平移量相同，但是方向相反。
旋轉變換矩陣的逆矩陣與原來的旋轉軸相同但是角度相反。
縮放變換的逆矩陣正好和原來的效果相反，如果原來是放大，則逆矩陣是縮小，如果原來是縮小，則逆矩陣是放大。
幾何變換詳解
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