如果接觸過演算法，那麼對於演算法的時間複雜度分析一定不陌生，因為時間複雜度是演算法優劣的乙個重要評價標準。
對於乙個演算法，我們不光關心它在某個規模輸入的情況下耗時多少，我們更關心的是，當輸入規模瘋狂增長的時候，演算法耗時增加多少，是按線性形式增加的？指數增加的？對數形式增加的？比如當你的演算法接收的輸入規模從k個數變到nk個數時，你的耗時是增加了n倍（線性速度增加）？還是增加了n2倍（平方的速度）？還是增加了log(n)倍（對數形式增加）。
時間複雜度是乙個函式，它描述了演算法的執行時間，並且給出了執行時間與輸入規模之間的關係。
對於時間複雜度的分析，我們都是使用漸進分析，這種分析方法關注地核心就是演算法耗時會如何隨著輸入規模增長？我們使用三種記號來說明這個問題。
我們使用字母n來表示輸入的規模
符號o()表示了一種上界的感覺，也是我們常說的大o表示法，o()在這三種符號中用得最多，因為涉及到時間複雜度分析，我們經常會考慮最壞情況，因為在**的實際運用中，首先最壞情況發生的可能性還不小，其次我們需要衡量最壞情況發生的結果我們是否能接受。
它的定義也用到了極限的思想，因為漸進分析，就包含有當n趨於無窮的意思。如果學過數學分析，了解ε-δ語言，那麼一定對這塊兒的定義不會陌生。
g(n) ϵ o(f(n))： 存在常數c和n0 > 0，對所有的n > n0，我們有g(n) ≤ cf(n)。儘管定義使用的是屬於符號，因為他們是函式集合的運算，但是實際運用時我們會把屬於號記成等於，我們經常聽說的，這個演算法時間複雜度是o(n2)就來自於此。
這個符號內含的意義就是，當我規模變得很大的時候，規模再怎麼增大，我的耗時一定能被乙個函式（f(n)）乘乙個常數( c )控制住。
例子：2n2+27 = o(n2): 我們找到n0 = 10，c = 3，很容易驗證對所有n > n0我們都有2n2+27 < 3n2
符號ω()表示了一種下界的感覺，和o()定義差不多，只是不等號改變了。
g(n) ϵ ω(f(n))： 存在常數c和n0 > 0，對所有的n > n0，我們有g(n) ≥ cf(n)
這個符號內含的意義就是，當我規模變得很大的時候，規模再怎麼增大，我的耗時一定比這個下界函式（f(n)）乘乙個常數( c )控制住，不管怎麼樣，總存在乙個規模使得程式耗時會超過這個下界的。
例子：2n2+27 = ω(n2): 我們找到n0 = 1，c = 1，很容易驗證對所有n > n0我們都有2n2+27 > n2
符號θ()表示了一種緊的感覺，他包含了o()和ω()，把乙個函式上下界都固定了邊界，在n趨於很大規模的時候，形成了乙個控制帶控住了這個函式。
g(n) ϵ θ(f(n))： g(n) ϵ o(f(n))並且g(n) ϵ ω(f(n))
這個符號內含的意義就是，當我規模變得很大的時候，規模再怎麼增大，我的耗時一定比這個下界函式（f(n)）乘乙個常數( c )控制住，不管怎麼樣，總存在乙個規模使得程式耗時會超過這個下界的。
例子：2n2+27 = θ(n2): 因為我們之前使用的例子表示了n2既是2n2+27的上界也是下界，找這個上下界的時候n0和c可以找的不一樣（上界對應的n0和c是10和3，下界對應的n0和c是1和1，兩者不需要統一）
符號o()表示了一種強上界的感覺，和o()定義差不多，只是條件更加嚴格了，對於所有c>0，那個上界都是上界。
g(n) ϵ o(f(n))： 存在n0 > 0，任取c>0，對所有的n > n0，我們有g(n) ≤ cf(n)。
這個符號內含的意義就是，當達到一定規模後，我的耗時永遠都超不過上界函式（f(n)），不管c怎麼幫我，c取0.01，0.000000001，耗時最後還是會比這個上界函式少，這是由於我的增長速度本質上就是慢過這個上界函式。
例子：2n2+27 = o(n3): n2的增長速度本質上就是比n3慢。我們最後找出的n0會是c的函式。
符號o()表示了一種強下界的感覺，和ω()定義差不多，只是條件更加嚴格了，對於所有c>0，那個下界都是下界。
g(n) ϵ w(f(n))： 存在n0 > 0，任取c>0，對所有的n > n0，我們有g(n) ≥ cf(n)。
這個符號內含的意義就是，當達到一定規模後，我的耗時總會超過這個下界函式（f(n)），不管c怎麼幫它，c取100，100000000，耗時最後還是會比這個下界函式多，這是由於我的增長速度本質上就是快過這個下界函式。
例子：2n2+27 = w(n): n2的增長速度本質上就是比n快。我們最後找出的n0會是c的函式。
對於演算法的耗時的公式，一般不會像上面那樣的例子直接給你乙個清楚的2n2+27這種清晰的公式。比如許多時候我們會遇到遞迴這種情況，就會出現演算法耗時的遞推公式。
例子1：選擇排序
給n個沒排好序的數，我們從這列數先選出最小的那個排最前面，然後再從剩下沒排好序的數繼續選最小的排，持續下去。這種遞迴每次問題規模減小1，所以我們有耗時的遞推公式如下：t(n)=t(n-1)+cn，我的n個數排序耗時等於我選好個最小的時間加上剩下n-1個數進行排序，從n個數里選最小的數耗時cn因為我們要瀏覽這n個數。
例子2：歸併排序
對於給n個沒排好序的數排序，我們可以把它平均拆解成兩份，每份是n/2個數，再對這n/2個數進行排序，排好後，我們對左右兩邊進行融合，這需要瀏覽這n個數才可以按順序融合好。所以耗時遞推公式如下：t(n) = t(n/2) + cn
對於這些有遞推公式的時間複雜度的計算，有如下方法可以解決：
1.猜想並用數學歸納法證明
2.迭代，比如t(n)=t(n-1)+cn，把n替換成n-1，我們也知道t(n-1) = t(n-2)+c(n-1)，所以我們可以把t(n)寫開：
t(n)=t(n-1)+cn = t(n-2)+c(n-1)+ cn = … = t(1) + c*2+… + c(n-1)+cn
這樣就可把t(n)一直迭代下去，到表達成我們已知的資訊，比如t(1)
3.借助遞迴樹，比如t(n) = 2*t(n/2) + cn，我們可以把這個遞迴表達成如下樹結構：
t(n)是這棵樹所有結點值的總和，他等於根結點的值加左右子樹的所有結點值總和，而左右子樹和原樹的區別就是n變成了n/2。所以有t(n) = 2t(n/2)（這是左右子樹結點值的總和）+cn（這是根結點的值）。
注意到這樹的每一層加起來都是cn，所以t(n) = cn × 這個樹的高度。這個樹一直會分叉到1，所以高度是log2(cn)，因為高度表示的就是cn需要分叉幾次到1，就是對cn求對數。
所以t(n) = cn × log2(cn)，t(n) = θ(nlog2n)
更一般的：t(n) = at(n/b) + cnk, t(1) = c,
a ≥ 1, b > 1, c > 0 and k ≥ 0
我們也可以畫出如下遞迴樹後算出t(n)的值
同樣也是每行相加都呈現乙個規律性的值，再對t(n)進行分析，最後有如下結論：
對於t(n) = at(n/b) + cnk, t(1) = c,
a ≥ 1, b > 1, c > 0 and k ≥ 0
有：1.當a < bk, t(n) = θ(nk)
2.當a = bk, t(n) = θ(nklogn)
3.當a > bk, t(n) = θ(n^logba)
1.我們首先談及了時間複雜度的定義，我們最關心的就是演算法的耗時增長的速率，是呈什麼函式形式增長的。
2.接下來我們通過符號，將時間複雜度的表示進行了量化，包括給了上界，下界，緊，強上界，強下界的這些類似概念，很好地區刻畫了乙個演算法的時間隨著規模增長的形式和規律。
3.我們對演算法的時間複雜度計算方法進行了乙個初步的介紹，並對遞迴的演算法給出了乙個綜合性的公式。
時間複雜度和大O記號
時間複雜度 執行乙個程式的基本步驟的總數量。這麼理解比較直觀吧，看他一共需要執行的步驟 q a，b,c，是1000以內的自然數，滿足a b c 1000，a平方加b平方等於c平方。方法一 列舉法 import time start time time.time for a in range 1001...
幾種排序以及其時間複雜度
常用的排序演算法的時間複雜度和空間複雜度 排序法 最差時間分析 平均時間複雜度 穩定度 空間複雜度 氣泡排序 o n2 o n2 穩定 o 1 快速排序 o n2 o n log2n 不穩定 o log2n o n 選擇排序 o n2 o n2 穩定 o 1 二叉樹排序 o n2 o n log2n...
幾種排序以及其時間複雜度
1.選擇排序 不穩定，時間複雜度 o n 2 選擇排序的基本思想是對待排序的記錄序列進行n 1遍的處理，第i遍處理是將l i.n 中最小者與l i 交換位置。這樣，經過i遍處理之後，前i個記錄的位置已經是正確的了。2.插入排序 穩定，時間複雜度 o n 2 插入排序的基本思想是，經過i 1遍處理後,...