在工程實踐中，我們經常遇到一些odes，其中某些解變換緩慢，另一些變化很快，且相差懸殊的微分方程，這就是所謂的剛性問題(stiff)，對於所有解的變化相當我們則稱為非剛性問題(nonstiff)。
變步長模式解法器有：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb和discrete。
a) ode45：預設值，四/五階龍格－庫塔法，適用於大多數連續或離散系統，但不適用於剛性（stiff）系統。它是單步解法器，也就是，在計算y(tn)時，它僅需要最近處理時刻的結果y(tn-1)。一般來說，面對乙個**問題最好是首先試試ode45。
b) ode23：二/三階龍格－庫塔法，它在誤差限要求不高和求解的問題不太難的情況下，可能會比ode45更有效。也是乙個單步解法器。
c) ode113：是一種階數可變的解法器，它在誤差容許要求嚴格的情況下通常比ode45有效。ode113是一種多步解法器，也就是在計算當前時刻輸出時，它需要以前多個時刻的解。
d) ode15s：是一種基於數字微分公式的解法器（ndfs）。也是一種多步解法器。適用於剛性系統，當使用者估計要解決的問題是比較困難的，或者不能使用ode45，或者即使使用效果也不好，就可以用ode15s。
e) ode23s：它是一種單步解法器，專門應用於剛性系統，在弱誤差允許下的效果好於ode15s。它能解決某些ode15s所不能有效解決的stiff問題。
f) ode23t：是梯形規則的一種自由插值實現。這種解法器適用於求解適度stiff的問題而使用者又需要乙個無數字振盪的解法器的情況。
g)ode23tb：是tr-bdf2的一種實現， tr-bdf2 是具有兩個階段的隱式龍格－庫塔公式。
h)discrtet：當simulink檢查到模型沒有連續狀態時使用它。
固定步長模式解法器有：ode5，ode4，ode3，ode2，ode1和discrete。
a) ode5：預設值，是ode45的固定步長版本，適用於大多數連續或離散系統，不適用於剛性系統。
b) ode4：四階龍格－庫塔法，具有一定的計算精度。
c) ode3：固定步長的二/三階龍格－庫塔法。
d) ode2：改進的尤拉法。
e) ode1：尤拉法。
f) discrete：是乙個實現積分的固定步長解法器，它適合於離散無連續狀態的系統。
表2-3
函式指令
含 義
函 數
含 義
求解器solver
ode23
普通2-3階法解ode
odefile
包含ode的檔案
ode23s
低階法解剛性ode
選項odeset
建立、更改solver選項
ode23t
解適度剛性ode
odeget
讀取solver的設定值
ode23tb
低階法解剛性ode
輸出odeplot
ode的時間序列圖
ode45
普通4-5階法解ode
odephas2
ode的二維相平面圖
ode15s
變階法解剛性ode
odephas3
ode的三維相平面圖
ode113
普通變階法解ode
odeprint
在命令視窗輸出結果
3．因為沒有一種演算法可以有效地解決所有的ode問題，為此，matlab提供了多種求解器solver，對於不同的ode問題，採用不同的solver。
表2-4 不同求解器solver的特點
求解器solver
ode型別
特點說明
ode45
非剛性一步演算法；4，5階runge-kutta方程；累計截斷誤差達(△x)3
大部分場合的首選演算法
ode23
非剛性一步演算法；2，3階runge-kutta方程；累計截斷誤差達(△x)3
使用於精度較低的情形
ode113
非剛性多步法；adams演算法；高低精度均可到10-3～10-6
計算時間比ode45短
ode23t
適度剛性
採用梯形演算法
適度剛性情形
ode15s
剛性多步法；gear』s反向數值微分；精度中等
若ode45失效時，可嘗試使用
ode23s
剛性一步法；2階rosebrock演算法；低精度
當精度較低時，計算時間比ode15s短
ode23tb
剛性梯形演算法；低精度
當精度較低時，計算時間比ode15s短
4．在計算過程中，使用者可以對求解指令solver中的具體執行引數進行設定（如絕對誤差、相對誤差、步長等）。
表2-5 solver中options的屬性
屬性名取值
含義abstol
有效值：正實數或向量
預設值：1e-6
絕對誤差對應於解向量中的所有元素；向量則分別對應於解向量中的每一分量
reltol
有效值：正實數
預設值：1e-3
相對誤差對應於解向量中的所有元素。在每步(第k步)計算過程中，誤差估計為：
e(k)<=max(reltol*abs(y(k)),abstol(k))
normcontrol
有效值：on、off
預設值：off
為『on』時，控制解向量範數的相對誤差，使每步計算中，滿足：norm(e)<=max(reltol*norm(y),abstol)
events
有效值：on、off
為『on』時，返回相應的事件記錄
outputfcn
有效值：odeplot、odephas2、odephas3、odeprint
預設值：odeplot
若無輸出參量，則solver將執行下面操作之一：
畫出解向量中各元素隨時間的變化；
畫出解向量中前兩個分量構成的相平面圖；
畫出解向量中前三個分量構成的三維相空間圖；
隨計算過程，顯示解向量
outputsel
有效值：正整數向量
預設值：
若不使用預設設定，則outputfcn所表現的是那些正整數指定的解向量中的分量的曲線或資料。若為預設值時，則預設地按上面情形進行操作
refine
有效值：正整數k>1
預設值：k = 1
若k>1，則增加每個積分步中的資料點記錄，使解曲線更加的光滑
jacobian
有效值：on、off
預設值：off
若為『on』時，返回相應的ode函式的jacobi矩陣
jpattern
有效值：on、off
預設值：off
為『on』時，返回相應的ode函式的稀疏jacobi矩陣
mass
有效值：none、m、
m(t)、m(t,y)
預設值：none
m：不隨時間變化的常數矩陣
m(t)：隨時間變化的矩陣
m(t,y)：隨時間、地點變化的矩陣
maxstep
有效值：正實數
預設值：tspans/10
最大積分步長
y(0)=1，y』(0)=0
令x1=y，x2=dy/dx，則
dx1/dt = x2
dx2/dt = μ(1-x2)-x1
編寫函式檔案verderpol.m：
function xprime = verderpol(t,x)
global mu
xprime = [x(2);mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];
再在命令視窗中執行：
>>global mu
>>mu = 7;
>>y0=[1;0]
>>[t,x] = ode45(『verderpol』,0,40,y0);
>>x1=x(:,1);x2=x(:,2);
>>plot(t,x1,t,x2)
圖形結果為圖2-20。
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