目錄
三、**展示
四、結果展示
五、參考資料
1. 理論依據
定理：如果點p不在集合s的最小覆蓋球內，則p一定在s∪的最小覆蓋球上。
根據這個定理，我們可以分三次確定前i個點的最小覆蓋圓。
2. 偽**
圓 c;
for(i=1 to n)
; for(j=1 to i-1)
;for(k=1 to j-1)}}}}}
3. 外接球演算法分析
對於已知的三個點a,b,c，需求其最小外接球。如果三角形abc為鈍角三角形或直角三角形，球心m即為最長邊的中點，半徑r為最長邊的一半。
如果三角形abc為銳角三角形，其球心m為任意兩邊中垂線的交點。
求銳角三角形的球心m，需要得到中垂線的直線方程。
設a,b,c均為1*3的行向量，則ab中點為p=(a+b)/2，bc中點為q=(b+c)/2。
設平面abc的乙個法向量為l，且l=(a-b)×(b-c)。(兩向量的叉乘是兩向量的法向量)
設pf=l×(a-b)，則pf與ab垂直且pf平行於平面abc；設qf=l×（b-c），則qf與bc垂直且qf平行於平面abc。
所以pf與qf分別為ab和bc在平面abc內的中垂線的平行向量。
因此可以得到中垂線方程：
(mx-px)/pfx=(my-py)/pfy=(mz-pz)/pfz
(mx-qx)/qfx=(my-qy)/qfy=(mz-qz)/qfz
可以得到球心m(mx，my，mz)，半徑r=|ma|。
4. 複雜度分析
由於一堆點最多只有3個點確定了最小覆蓋求，因此n個點中每個點參與確定最小覆蓋圓的概率不大於3/n
所以，每一層迴圈在第i個點處呼叫下一層的概率不大於3/i
那麼設演算法的三個迴圈的複雜度分別為t1(n),t2(n),t3(n)，則有：
min_ball.m(框架部分)
function min_ball
syms a b c;
ooo=[a b c];
o=[0 0 0]; %球心
r=0; %球的半徑
n=input('請輸入你想要生成的離散點個數:');
t=input('請輸入你想要生成的點的範圍(上限）:');
a=rand(n,3);
b=(2*a-1)*t;
%隨機產生n個離散點，儲存在pot裡面
pot=fix(b)+1;
%生成最小球
for i=1:n
if norm(pot(i,:)-o)>r
o = pot(i,:);
r=0;
for j=1:i-1
if norm(pot(j,:)-o)>r
o = (pot(i,:)+pot(j,:))/2;
r=norm(pot(j,:)-o);
for k=1:j-1
if norm(pot(k,:)-o)>r
%最小外接球(補充ball函式）
%ball函式輸入三個點座標，返回這三個點的最小球的球心座標
x=pot(i,:);
y=pot(j,:);
z=pot(k,:);
if norm(z-y)^2+4*r^2<=(norm(z-x))^2
ooo=(z+x)/2;
r=norm(z-ooo);
elseif norm(z-x)^2+4*r^2<=(norm(z-y))^2
ooo=(z+y)/2;
r=norm(z-ooo);
else %三個點構成銳角三角形的情況
ooo=ballcenter(x,y,z);
r=norm(z-ooo);
o = ooo;
r=norm(pot(k,:)-o);
endend
endend
endend
endo=double(o); %保證小數防止mesh出bug
r=double(r);
[q, w, e]=sphere(30);
q=r*q+o(1);
w=r*w+o(2);
e=r*e+o(3);
subplot(1,3,1)
mesh(q,w,e)
hold on
%畫n個點
x1=pot(:,1);
y1=pot(:,2);
z1=pot(:,3);
subplot(1,3,2)
scatter3(x1,y1,z1,'r');
hold on
subplot(1,3,3)
mesh(q,w,e);
alpha(0.8) %設定透明度
shading flat %去掉那道些線
hold on
scatter3(x1,y1,z1,'r');
function p = ballcenter(x, y, z)
syms a b c;
% 圓的法向量
pf= cross(x-y, x-z);
p12 = (x + y)/2;
p23 = (y + z)/2;
% 求兩條在三角形麵內的中垂線的向量
p12f = cross(pf, x-y);
p23f = cross(pf, y-z);
eq1=(a-p12(1))*p12f(2)-(b-p12(2))*p12f(1);
eq2=(a-p12(1))*p12f(3)-(c-p12(3))*p12f(1);
eq3=(a-p23(1))*p23f(2)-(b-p23(2))*p23f(1);
eq4=(a-p23(1))*p23f(3)-(c-p23(3))*p23f(1);
[a,b,c]=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,a,b,c);
p=[a b c];
end
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30個點，範圍[-50,50]
40個點，範圍[-100,100]
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