抽象下的變換

2021-09-02 02:57:17 字數 1107 閱讀 4209

三年前的高二和去年的大一我都想過乙個問題,平面曲線xy=k和a*x^2-b*y^2=h可能「重合」嗎?

去年剛剛學習解析幾何,我的理解是通過變換x'=x+y,y'=x-y,變換矩陣t=[1,1;1,-1],**如下

這兩支曲線的轉變與所作的變換方程有關,而且是確定的。但就是如此簡單的問題,我高中時可想了很久的,那時候所學的變換無非是平移變換和對稱變換,很少涉及旋轉,而且是涉及到影象方程的變換。

變換方程組

現在大二,學習了抽象代數,我學著用抽代的思想重審這個問題。**如下

(x)定義為以x為基本元的群,抽代上稱為迴圈群,但由於這裡元素的特殊性,不存在迴圈特質,所以有所不同,但不影響我們的分析。

即在這裡為集合

即在我們眼中,這兩個集合本身沒有什麼區別,但這又有另外乙個問題,集合之間同構是保持了其加法和乘法了的,在這裡,加法和乘法又該如何定義呢?需要我們深思。但我相信這不是問題,因為直覺上其內在就存在著緊密的聯絡。

如何解決這其中對加法和乘法的定義呢?想到這兩族曲線是通過方程組

這類方程組稱為線性方程組,對應的,變換也稱為線性變換。而顯然他是滿足加法和乘法的,當然這裡定義的加法和乘法分別稱為矩陣加法和矩陣乘法。所有從同構角度分析便很好理解了。

思考的樂趣就在於此,對同乙個哪怕簡單至極的問題也可以多個角度分析,妙哉樂哉

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