0 前言
在學習當中，我們應該都或多或少的明白了乙個道理，就是實際問題大部分是非線性的，而我們往往先分析線性問題，再往非線性推廣。這其中有乙個很重要的問題就是在某一點進行線性近似。對於一階函式，我們常用的是泰勒公式展開，而對於多元函式或者是向量，我們常用的是雅克比矩陣。這個雅克比矩陣自己曾多次遇到，例如，李雅普諾夫分析非線性系統穩定性時用到了索拉可夫斯基時就用雅克比矩陣進行區域性線性化；倒立擺系統動力學建求解時同樣用到了；卡爾曼起初為線性濾波器，而後推廣至擴充套件卡爾曼，也需要對非線性方程進行線性化。所以對雅克比矩陣有乙個正確的理解以及融會貫通的應用，是繼續深造學習繞不開的彎。
本質上來說，乙個函式對(行)向量求導，本質上還是單獨為向量的每個元素進行求導的。
向量y對向量a求導：
其可以看成乙個換元變換，即y1=f(a1,⋯,an)這樣的方式進行換元。或者可以看成乙個座標變換。
所以上式【多元函式值的導數】即為雅各比jacobian矩陣。
當m = n時，其為方陣，則可以求其雅各jacobian比行列式
先補充另外一些數學知識，求微分其實就是線性化，即用直線近似代替取現，dx,dy近似代替原來那段曲線。 導數其實就是線性空間之間的線性變換。
為了理解上面這句話，看下面兩張圖
θ1和θ2分別是x,y的函式，則x,y的微分：
寫成矩陣形式
可以看到其導數就是從θ1和θ2微分對映到x,y微分的
更專業的說法是，導數就是在切空間到切空間之間的線性對映。
【切空間就可以其理解為微分空間】
切空間都是向量空間，都有基底，所以這個線性變換就是矩陣。在歐氏空間子空間的開集上，切空間就是某個。
所以把jacobian矩陣看成切空間之間的基底之間的線性變換，
而矩陣的行列式的值的幾何意義：是矩陣對應的線性變換前後的面積比。
這也是為什麼積分中變換座標時前面會乘以乙個jacobian矩陣的行列式。
兩個應用舉例
一
動力學建模方程為
對其進行微分線性化
寫成雅可比矩陣形式
簡寫為dx=jdθ, 其中的j稱之為機械手的雅可比矩陣,反映了關節微小位移dθ與手部（手爪）微小運動dx之間的關係.
它可看成是從關節空間到操作空間運動速度的傳動比,同時也可用來表示兩空間之間力的傳遞關係.
假設關節速度為jdθ兩端同除以dt
因此, 機械手的雅可比矩陣定義為它的操作空間速度與關節空間速度的線性變換,v為機械手未端在操作空間的廣義速度, 或稱操作速度,w為關節速度.
以上可以擴充套件到三維空間多自由度的情形.
二 永磁同步電機
pmsm的靜止座標系下的電壓方程
將其寫為電流方程的狀態空間方程形式
選擇狀態變數
選擇輸入變數
非線性狀態空間方程
其中對f在x=x(t)處線性化，得到雅克比矩陣
這樣我們就把df變換到了dx上。
此例主要為下次將要闡述擴充套件卡爾曼濾波器在永磁同步電機上的應用做鋪墊。
總結由於線性化本質就是微分，df/dx表示了雅克比矩陣是f對x的導數。是函式變化的斜率。因此也可模擬一元函式的概念理解雅克比矩陣的線性化作用。而與此同時，對於向量空間而言，微分就是以微元為基底，得到的切空間，雅克比矩陣也是乙個切空間的座標變換矩陣。
雅克比矩陣
在向量微積分中，雅可比 矩陣是一階 偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。雅可比矩陣的重要性在於它體現了乙個可微 方程與給出點的最優線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於多元函式的導數。在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。還有，在代數幾...
雅克比矩陣 海森矩陣 牛頓法
雅可比矩陣是以一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。雅可比矩陣的重要性在於它體現了乙個可微方程與給出點的最優線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於多元函式的導數。海森矩陣是乙個以自變數為向量的實值函式的二階偏導數組成的方塊矩陣。此函式如下，f x1,x2,xn 如果f的所有二階導數都...
關於雅克比矩陣與黑塞矩陣
乙個非常好的部落格 關於牛頓法 參考部落格中牛頓發的圖，在求函式的根的問題時，即f x 0，用函式的一階導數逼近即可。相應的，在求極值問題時，即f x 0，用函式的二階導數才可以逼近。也就是黑塞矩陣了。求函式極值的問題在推導過程中，可以將函式表示式替換成函式的梯度來推導，這樣就跟求根的推導一樣了。雅...