NOIP 2014 Senior 2 聯合權值

2021-09-30 13:58:19 字數 3664 閱讀 3871

思路1

很明顯，題目給定的是一棵樹，所以想到使用樹形dp，所以首先，將無根樹轉換成有根樹。可以記錄乙個結點的所有孫結點（子結點的子結點）的最大權值以及它們的權值和（當然要求餘了）。對於某個結點和它的所有孫子結點來說，它們的最大聯合權值就是孫子結點的最大權值乘以該結點的權值，聯合權值和就是孫子結點與該結點的權值之積的和，再乘以2。對於求聯合權值之和，可以用乘法分配律合併，變成求孫子結點權值之和與該結點的權值的積。

可以說這是樹形dp的常規思路：從下往上更新資訊。但這還不夠，因為有些點對沒有計算再內。不要忘了任意一棵子樹的所有（直系）子結點兩兩也成聯合點對。當然，這要求子結點至少有2個。對這些結點來說，求最大聯合權值需要記錄前兩大的權值，求聯合權值之和就稍微考了下效率：如果使用平方級時間複雜度的演算法，那麼將會超時。這裡仍然使用乘法分配律：對於一棵子樹的子結點兩兩形成的聯合點對，其權值和為σn

i=1(

σcos

t−co

sti)

(cos

ti)

。這樣，就能以線性時間複雜度求出和了。

參考**

#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


using


std::cin;


using


std::cout;


using


std::endl;


typedef


int int;


inline int readin()


while (ch >= '0' && ch <= '9')


if (minus) a = -a;


return a;


}const


int maxn = 200005;


const int mod = 10007;


const


int root = 1;


int n;


std::vector


<:vector>


> edges;


int weight[maxn];


int parent[maxn];


int grand[maxn];


int fmax[maxn]; //孫子結點的最大權值


int fsum[maxn]; //孫子結點權值之和


int fcsum[maxn]; //子結點權值之和


int fcmajor[maxn]; //子結點最大權值


int fcminor[maxn]; //子結點次大權值


int maxans;


int sumans;


void dfs(int node = root)


else}}


if (grand[node]) //更新爺節點 = =


for (int i = 0; i < edges[node].size(); i++)


//更新在下面的


maxans = std::max(maxans, fmax[node] * weight[node]);


sumans += fsum[node] % mod * weight[node] % mod * 2; //記住乘以2


sumans %= mod;


//更新同級的


if (edges[node].size() - bool(parent[node]) >= 2) //需要至少有2個子結點


}}void run()


for (int i = 1; i <= n; i++)


dfs();


sumans %= mod;


cout


<< maxans << " "


<< sumans << endl;


}int main()
有沒有覺得很麻煩，隨時要超時的感覺？事實上，如果題目給出極端資料：一條20萬個結點的鏈，這個程式將直接爆棧。在windows中最多能遞迴約3萬層（即使只傳乙個引數也是這樣，所以不把parent和grand當作引數傳入的原因是因為我在測試），而在noi linux中也僅能遞迴約13萬層（以上資料不保證準確）。還好資料中的層數都很少，僥倖全過。

這種演算法麻煩的原因就在於：你能想到最後還要單獨更新子結點，你就不能直接用這種方法更新所有結點嗎？所以就有了好寫好懂好過的思路2。

思路2

列舉每個結點，與結點i相鄰的結點一定兩兩成聯合點對，並且列舉每個結點時不會出現重複的聯合點對，當然也不會遺漏。求題目中的兩個問題的方法就是思路1中求解子結點的兩個問題的方法。

參考**

#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


#include 


using


std::cin;


using


std::cout;


using


std::endl;


typedef


int int;


inline int readin()


while (ch >= '0' && ch <= '9')


if (minus) a = -a;


return a;


}const


int maxn = 200005;


const int mod = 10007;


int n;


std::vector


<:vector>


> edges;


int weight[maxn];


int maxans;


int sumans;


void run()


for (int i = 1; i <= n; i++)


for (int i = 1; i <= n; i++)


else


}isum += weight[edges[i][j]];


isum %= mod;


}maxans = std::max(maxans, imajor * iminor);


for (int j = 0; j < edges[i].size(); j++)


}cout


<< maxans << " "


<< sumans << endl;


}int main()
總的來說，這道題看了思路2後。。。真的一點也不複雜，就考考你知不知道樹。所以說啊。。。還是太弱，有些時候經常在危險的時間上徘徊，只要稍加分析，就能得到更優的演算法。

另外，思路一當初我只想到了第一步，第二步還是我在測試時發現的，看來寫完後檢查真的很重要啊！

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