關於數字DP的學習

---恢復內容開始---

因為最近做比賽經常會出現數字dp，便嘗試著去學學看數字dp。

《數字計數問題解法研究》

《**數字類統計問題》

然後也是尋找了很多大牛的部落格，學習了很多（但是沒學會囧。），現在先總結一下已經學到的東西

「在資訊學競賽中，有這樣一類問題：求給定區間中，滿足給定條件的某個d 進製數或

此類數的數量。所求的限定條件往往與數字有關，例如數字之和、指定數碼個數、數的大小

順序分組等等。題目給定的區間往往很大，無法採用樸素的方法求解。此時，我們就需要利

用數字的性質，設計log(n)級別複雜度的演算法。解決這類問題最基本的思想就是「逐位確定」

的方法。下面就讓我們通過幾道例題來具體了解一下這類問題及其思考方法。」——劉聰

事實上，為什麼會想到用數字dp來做，就是因為限定條件往往和數字有關，而仔細地樸素的暴力方法中，所做的重複的工作太多。這樣的條件會使得dp（記憶化搜尋）有用武之地。

目前我所接觸到的大多數的題，都是可以通過記錄某些值（比如數字等）來減少重複的運算。當然，因為此類題的特殊性，可以編寫check函式確定**的正確性。

再偷用某個大牛的一句話：其實數字dp(或者說所有記憶化搜尋)都是可以看做通過搜尋來填滿狀態的值。

首先先想想數字dp的執行模式

如果我們要統計[0,54321]中滿足某個條件的個數，需要將其拆分為

[00000,09999][10000,19999],[20000,29999],[30000,39999],[40000,49999]，

[50000,50999],[51000,51999],[52000,52999],[53000,53999]，

[54000,54099],[54100,54199],[54200,54299]，

[54300,54309],[54310,54319]，

[54320,54321]

為什麼要這麼分呢？隨便舉個例子，如果我們統計過了[0000,9999]中的滿足條件（或者其他各種不滿足條件的狀態）的個數，那麼分別在加上字首，就可以判斷出有多少個滿足條件的個數。目的是為了將大的區間劃分為小的區間進行求解。

因此，總結一句話，數字dp減少的運算量為：前面幾位固定，後面幾位可以任意取的個數統計。

比如分析一道簡單題：hdu 3652，通過我這個渣渣的錯誤歷程來分析一些細節上的問題

先貼錯誤**

1 #include2 #include3 #include4

using
namespace
std;
5int dp[20][20][20];6
int num[20];7
int dfs(int pos,int mod,int pre,int stat,int
limit)
17if(!limit) dp[pos][mod][pre]=ans;
18return
ans;19}
20int cal(int
x)27
return dfs(cnt,0,0,0,1
);28}29
intmain()
3038
return0;
39 }

但是運算結果卻始終會小於等於正確的答案，為什麼呢？

想了想，發現其實是因為引數含義的問題。

分析一下，如果我將pre作為乙個關鍵引數記錄下來，其實我並不能區分我記錄的是後面幾位能不能隨機取的個數。

即當下一次搜尋到pos，mod，pre的時候，不能確定前面是否有13，或者以前搜尋的dp[pos][mod][pre]中的數的個數是否有13。

因此應該把記錄的引數改為pos，mod，stat（表示為記錄狀態，0為不含13，1為只含前一位為1，2為字首含有13）。

因此得到下面的ac**

#include#include

#include
using
namespace
std;
int dp[20][20][3
];int num[20
];int dfs(int pos,int mod,int stat,int
limit)
if(!limit) dp[pos][mod][stat]=ans;
return
ans;
}int cal(int
x)    
return dfs(cnt,0,0,1);}
intmain()
return0;
}

好了講完了

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數字dp 學習

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關於數字DP的個人總結

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