目錄3. 練習題
update 2021/2/23：最近作者發現數字 dp 的 \(f\) 陣列初始化有問題，導致**出現了根本性錯誤（原理不變），現在已經糾正，對各位讀者造成的困擾深表歉意。
數字 dp，是一種 dp （廢話），專門用於數字統計類問題。
這種問題首次接觸可能會有些難理解，但是練過幾道題之後就會掌握套路了。
[scoi2009] windy 數
這是數字 dp 的基礎題，我個人認為比別的題目更好入門。
數字 dp 的題目通常都是這樣表達的：
問：在 \([l,r]\) 範圍內，滿足條件 \(p(x)\) 的數 \(x\) 有幾個？
比如例題：
問：在 \([a,b]\) 範圍內，滿足條件 \(相鄰數之差大於等於2\) 的數 \(x\) 有幾個？
數字 dp 的問題一般都滿足區間可減性。
比如說例題，無論 \(a,b\) 怎麼變，windy 數始終是 windy 數，非 windy 數始終是非 windy 數。
於是乎，我們就可以使用差分將詢問變為 \(f(b)-f(a-1)\)。
其中 \(f(x)\) 表示在 \([1,x]\) 內有幾個滿足條件的數。
**裡面需要特別對 \(a=0\) 特判！
既然是數字 dp，那麼肯定跟數字有關。
那麼首先我們要拆分數字。假設拆分在 \(a\) 數字裡面，\(a_i\) 表示從低到高第 \(i\) 位（這是為了與**匹配）。\(cnt\) 為位數。
數字 dp 有兩種寫法：記憶化搜尋與直接遞推。
記憶化搜尋便於理解，直接遞推**簡潔。
本文章採用記憶化搜尋講解。
首先設計 dfs 函式：(ll即為long long)
ll dfs(int pos, int las, ..., int zero, int limit)
pos表示當前搜到第幾位，las表示上一位數字是什麼（windy 數需要上一位數字），zero表示是否為前導 0，limit表示這一位有沒有最高位限制。
...是表示有的題目可能需要一些別的。
先撇下zero和limit不管，我們繼續設計 dfs 函式。
那麼這個zero和limit呢？
zero是前導零，limit表示限制。
因為前導零是不計入數字限制，所以特別要注意前導零不能對數字統計造成干擾，於是我們需要注意前導零的限制，在記憶化搜尋的時候對於有前導零限制的數我們不能記憶化。
limit表示限制，這個限制是幹什麼用的呢？
考慮以下資料：
0-47382，現在已經填了473??
那麼第四位我們要怎麼列舉呢？
如果我們直接列舉0-9，那麼在列舉到9的時候就會發現：4739?這個數字不在範圍內。於是我們需要引入limit做出限制。
怎麼處理？
首先看zero的處理。
解釋：上一位zero為真表示前面所有位都是 0，而這一位也是 0，於是乎數字為00..0??...?，那麼zero接下來為真，告訴後面的數字這一位的 0 是前導零。
再看limit的處理。
解釋：上一位limit為真表示前面都是最高位，這一位也是最高位，於是乎從最前面到這一位都是最高位，那麼limit接下來為真，告訴後面的數字這一位是最高位。
需要特別注意的是，當zero=0或limit=0的時候不能記憶化！（當然你可以加兩個狀態表示zero和limit，這樣可以）
在搜尋時我們按照一般的搜尋套路，特別注意對zero和limit的處理。
**如下：
#include using namespace std;
typedef long long ll;
int l, r, f[20][10], a[20], cnt;
int read()
while (ch >= '0' && ch <= '9')
return sum * fh;
}int abs(int x)
int dfs(int pos, int las, int zero, int limit)
if (!zero && !limit) f[pos][las] = ans;
return ans;
}int get(int k)
return dfs(cnt, -2, 1, 1);
}int main()
#include using namespace std;
//sth.
int read()
while (ch >= '0' && ch <= '9')
return sum * fh;
}int dfs(int pos, ..., int zero, int limit)
if (!zero && !limit) f[...] = ans;
return ans;
}int get(int k)
return dfs(cnt, ..., 1, 1);
}int main()
例題**的-2是為什麼？
處理方便，不需要特判。
注意板子裡面要特判一下l!=0。
這裡再給乙個板子，這個板子是將zero和limit也加入記憶化的狀態裡面的。
int f[...][2][2];
int dfs(int pos, ..., int zero, int limit)
f[...][zero][limit] = ans;
return ans;
}
演算法筆記 數字dp
前言 當我們遇到某些題目的時候 比如像讓你統計l r這乙個區間內的數字和以及滿足條件的數有幾個這一類的題目 常常會因為區間太大而無法計算。這時候，我們就需要用上我們偉大的數字dp啦 數字dp的實質就是換一種暴力列舉的方式，使得新的列舉方式滿足dp的性質，然後記憶化就可以了。nm這本質上不還是記憶化搜...
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入門ppt link1 記憶化方式 link2 link3 1 2 記憶化的數字dp 通常而言，有四個引數必須 dp pos,flag,limit pos表示當前正在列舉的數字。flag標誌已經列舉的字首是否某種性質 前面的數字和，是否含有某個數，前乙個列舉的數等等。當然flag可以有多個。limi...