問題描述
人自出生起就有體力，情感和智力三個生理週期，分別為23，28和33天。乙個週期內有一天為峰值，在這一天，人在對應的方面（體力，情感或智力）表現最好。通常這三個週期的峰值不會是同一天。現在給出三個日期，分別對應於體力，情感，智力出現峰值的日期。然後再給出乙個起始日期，要求從這一天開始，算出最少再過多少天後三個峰值同時出現。
問題分析
首先我們要知道，任意兩個峰值之間一定相距整數倍的週期。假設一年的第n天達到峰值，則下次達到峰值的時間為n+tk(t是週期，k是任意正整數)。所以，三個峰值同時出現的那一天(s)應滿足
s = n1 + t1*k1 = n2 + t2*k2 = n3 + t3*k3
n1,n2,n3分別為為體力，情感，智力出現峰值的日期， t1，t2,t3分別為體力，情感，智力週期。 我們需要求出k1,k2,k3三個非負整數使上面的等式成立。
想直接求出k1,k2,k3貌似很難，但是我們的目的是求出s， 可以考慮從結果逆推。根據上面的等式，s滿足三個要求：除以t1餘數為n1，除以t2餘數為n2，除以t3餘數為n3。這樣我們就把問題轉化為求乙個最小數，該數除以t1餘n1，除以t2餘n2,除以t3餘n3。這就是著名的中國剩餘定理，我們的老祖宗在幾千年前已經對這個問題想出了乙個精妙的解法。依據此解法的演算法，時間複雜度可達到o(1)。下面就介紹一下中國剩餘定理。
中國剩餘定理介紹
在《孫子算經》中有這樣乙個問題：「今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？」這個問題稱為「孫子問題」，該問題的一般解法國際上稱為「中國剩餘定理」。具體解法分三步：
找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21，最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
用15乘以2（2為最終結果除以7的餘數），用21乘以3（3為最終結果除以5的餘數），同理，用70乘以2（2為最終結果除以3的餘數），然後把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即233%105=23。這個餘數23就是符合條件的最小數。
就這麼簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什麼基本的數學依據嗎？
中國剩餘定理分析
我們將「孫子問題」拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推導出這個解法的。
首先，我們假設n1是滿足除以3餘2的乙個數，比如2，5，8等等，也就是滿足3*k+2（k>=0）的乙個任意數。同樣，我們假設n2是滿足除以5餘3的乙個數，n3是滿足除以7餘2的乙個數。
有了前面的假設，我們先從n1這個角度出發，已知n1滿足除以3餘2，能不能使得 n1+n2 的和仍然滿足除以3餘2？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3餘2？
這就牽涉到乙個最基本數學定理，如果有a%b=c,則有(a+kb)%b=c(k為非零整數)，換句話說，如果乙個除法運算的餘數為c，那麼被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，餘數不變。這個是很好證明的。
以此定理為依據，如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3餘2。同理，如果n3也是3的倍數，那麼n1+n2+n3的和就滿足除以3餘2。這是從n1的角度考慮的，再從n2，n3的角度出發，我們可推導出以下三點：
為使n1+n2+n3的和滿足除以3餘2，n2和n3必須是3的倍數。
為使n1+n2+n3的和滿足除以5餘3，n1和n3必須是5的倍數。
為使n1+n2+n3的和滿足除以7餘2，n1和n2必須是7的倍數。
因此，為使n1+n2+n3的和作為「孫子問題」的乙個最終解，需滿足：
n1除以3餘2，且是5和7的公倍數。
n2除以5餘3，且是3和7的公倍數。
n3除以7餘2，且是3和5的公倍數。
所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找乙個除以3餘2的數n1，從3和7的公倍數中找乙個除以5餘3的數n2，從3和5的公倍數中找乙個除以7餘2的數n3，再將三個數相加得到解。在求n1，n2，n3時又用了乙個小技巧，以n1為例，並非從5和7的公倍數中直接找乙個除以3餘2的數，而是先找乙個除以3餘1的數，再乘以2。
這裡又有乙個數學公式，如果a%b=c，那麼（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是說，如果乙個除法的餘數為c，那麼被除數的k倍與除數相除的餘數為kc。展開式中已證明。
最後，我們還要清楚一點，n1+n2+n3只是問題的乙個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理「如果a%b=c,則有(a-kb)%b=c」。所以（n1+n2+n3）%105就是最終的最小解。總結
經過分析發現，中國剩餘定理的孫子解法並沒有什麼高深的技巧，就是以下兩個基本數學定理的靈活運用：
如果 a%b=c , 則有 (a+kb)%b=c (k為非零整數)。
如果 a%b=c，那麼 (a*k)%b=kc (k為大於零的整數)。
POJ1006 中國剩餘定理的完美演繹
問題描述 人自出生起就有體力，情感和智力三個生理週期，分別為23，28和33天。乙個週期內有一天為峰值，在這一天，人在對應的方面 體力，情感或智力 表現最好。通常這三個週期的峰值不會是同一天。現在給出三個日期，分別對應於體力，情感，智力出現峰值的日期。然後再給出乙個起始日期，要求從這一天開始，算出最...
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