在組合數學，stirling數可指兩類數，都是由18世紀數學家james stirling提出的。
stirling
數有兩種，第一類和第二類
stirling
數，它們自
18世紀以來一直吸引許多數學家的興趣，如尤拉、柯西、西爾沃斯特和凱萊等。後來哥本哈根（
copenhagen
）大學的尼爾森（
niels nielsen
，1865-1931
）提出了
"stirlingschen zahlen erster art" [
第一類stirling數]
和"stirlingschen zahlen zweiter art" [
第二類stirling數]
，首次把這兩類數冠以「
stirling
數」之名
。因為蘇格蘭數學家斯特林（
j. stirling, 1692-1770
）首次發現這些數並說明了它們的重要性。
斯特林在解決降階乘積x（
n）=x (x
–1)( x–2)
…(x–n+1)
問題時發現了這些數，他在一篇文章
中列出了下面的式子：
x2 = x(x
－1) + x
x3 = x(x
－1)(x
－2) +3x(x
－1) + x
x4 = x(x
－1)(x
－2)(x
－3) + 6x(x
－1)(x
－2) + 7x(x
－1) + x
…… … …
上式中各多項式的係數即是第二類
stirling
數，它可以用乙個三角數陣的形式表示（表
4.2）。第二類
stirling
數在組合分析與有限差分中有重要的應用。
第二類stirling
數與冪和問題有著密切的聯絡，其另一種形式出現在關於冪和問題的研究中。這是因為如果把
(ex－
1)n展開為
x的冪級數形式，第二類
stirling
數將作為
x冪的係數的因子出現。
philadephia
的《級數運算導引》（
introduction to operation with series
，1924
）中給出了該數在冪和問題**現的例子
（該書的第
88頁）。
中國傳統數學中的垛積招差術是研究一些計數函式的有效方法。李善蘭《垛積比類》卷
一、二中的「三角垛有積求高開方廉隅表」和「乘方垛各廉表」列出了兩組係數（如表
4.3）。李善蘭的「造表法」相當於給出了第一類
stirling
數和euler
數遞迴定義。
第一類stirling數是有正負的，其絕對值是包含n個元素的集合分作k個環排列的方法數目。
遞推公式為，
s(n,0) = 0, s(1,1) = 1.
s(n+1,k) = s(n,k-1) + ns(n,k)。
第二類stirling數是把包含n個元素的集合劃分為正好k個非空子集的方法的數目。
遞推公式為：
s(n,k)=0; (n
s(n,n) = s(n,1) = 1,
s(n,k) = s(n-1,k-1) + ks(n-1,k).
將n個有區別的球的球放入k個無標號的盒子中( n>=k>=1，且盒子不允許為空)的方案數就是stirling數.(即含 n 個元素的集合劃分為 k 個集合的情況數)
遞推公式:
s(n,0) = 0
s(n,1) = 1 (k = 1)
s(n,n) = 1
s(n,k) = 0 (k > n)
s(n,k) = s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k) (n >= k >= 2)
分析：設有n個不同的球，分別用b1,b2,...,bn表示。從中取出乙個球bn，bn的放法有以下兩種：
1.bn獨佔乙個盒子，那麼剩下的球只能放在k-1個盒子裡，方案數為s（n-1,k-1);
2.bn與別的球共佔乙個盒子，那麼可以將b1,b2,...,bn-1這n-1個球放入k個盒子裡，然後將bn放入其中乙個盒子中，方案數為k*s(n-1,k).
斯特靈（Stirling）數
遞推式 s n 1,k s n,k 1 n s n,k 解釋 考慮第n 1個元素 1 單獨形成迴圈排列，剩下的有s n,k 1 種方法 2 和別的元素一起形成迴圈排列，n個元素形成迴圈排列的方法數是s n,k 第n 1個可以放在第i個元素左邊，共有n種放法，一共是n s n,k include in...
斯特靈數stirling
count the buildings 不管是從左邊看還是從右邊看，視線總是會被中間最高的給擋住 所以我們把左邊和右邊分組來看。對於某一邊，我們確定出能夠看見的樓房，那麼不能夠看見的樓房就可以任意排列 我們把能看見的樓房，與下乙個能看到的樓房 不包括下乙個樓房 之間的樓看為一組 可以考慮現將最高的拿...
斯特靈數 stiriling
第一類stiriling數 先給出定義 s n,k 個元素的專案分作 個環排列 的方法數目 此時我們就可以忽略排列的開始元素 舉個例子 遞推公式為 s n,k n 1 s n 1,k s n 1,k 1 解釋 當我們考慮到第n個物品的時候 1.將第n個物品單獨放置 s n 1,k 1 2.將第n個物...