從 5個元素中取3個數排列。第一次取有5種情況，拿出乙個數後，第二次取有4種情況，第三次取有3中情況。所以5中取3的排列共有
5*(5-1)(5-2) = 60種情況，由 3個數的排列由32*1=6中。也就是每一種組合有6種排列。
所以中取三個數的組合為
5 ∗(
5−1)
∗(5−
2)3∗
(3−1
)(3−
2)=10
\frac = 10
3∗(3−1
)(3−
2)5∗
(5−1
)∗(5
−2)
=10推廣到一般情況，從n個元素中取k個元素的組合個數，記作c(n,k)，則有
c (n
，k)=
n∗(n
−1)∗
(n−2
)...
∗(n−
(k−2
))∗(
n−(k
−1))
k∗(k
−1)∗
(k−2
)...
∗3∗2
∗1
c(n，k) = \frac
c(n，k)
=k∗(
k−1)
∗(k−
2)..
.∗3∗
2∗1n
∗(n−
1)∗(
n−2)
...∗
(n−(
k−2)
)∗(n
−(k−
1))
其中，含有某個元素m的組合個數，取出m後，還剩n-1個元素，從中要抽取另外k-1個元素，和m組成組合。所以c(n,k)個組合中含有某個確定元素m的組合個數為c(n-1,k-1),那麼對於n個元素取出k個元素，某個元素被抽中的概率
p =c
(n−1
,k−1
)c(n
,k)=
kn
p = \frac = \frac
p=c(n,
k)c(
n−1,
k−1)
=nk
123
456…
kk+1
…n-1
n使用均勻隨機數生成函式rand()，從n個元素中抽取k個元素。要求每個元素被抽中的概率符合k
n\frac
nk為了便於理解，下面的說明違背了程式編寫的傳統，陣列索引不從0開始，而從1起始。
從第k+1個元素開始處理，
第k+1個元素，int index = rand()%(k+1) + 1; index的取值範圍是[1,k+1],如果 index 的取值在[1,k]上,則 把第k+1個元素與index位置的元素交換。這個事件發生的概率為kk+index121\frac
k+1k
第k+2個元素，int index = rand()%(k+2) + 1; index的取值範圍是[1,k+2],如果 index 的取值在[1,k]上,則 把第k+2個元素與index位置的元素交換。這個事件發生的概率為kk+
2\frac
k+2k
第k+3個元素，int index = rand()%(k+3) + 1; index的取值範圍是[1,k+3],如果 index 的取值在[1,k]上,則 把第k+3個元素與index位置的元素交換。這個事件發生的概率為kk+
3\frac
k+3k…
…第n-1個元素，int index = rand()%(n-1) + 1; index的取值範圍是[1,n-1],如果 index 的取值在[1,k]上,則 把第n-1個元素與index位置的元素交換。這個事件發生的概率為kn−
1\frac
n−1k
第n個元素，int index = rand()%(n) + 1; index的取值範圍是[1,n],如果 index 的取值在[1,k]上,則 把第n個元素與index位置的元素交換。這個事件發生的概率為k
n\frac
nk
3456
…kk+1…
n-1npkk+
1\frac
k+1kkn−
1\frac
n−1kkn−
2\frac
n−2k
證明，經過這輪操作後，n個元素中每個元素在前k個的概率均符合要求，分兩種情況討論。
1，索引為m的元素，m<=k，想要在處理後仍然在前k個，必須滿足，所有的隨機生成int index全不為m,淘汰是個單向過程，一旦被從前k個剔除，就無法回到前k個中。所以
p =k
k+1∗
k+1k
+2∗k
+2k+
3∗n−
2n−1
∗n−1
n=kn
p = \frac *\frac *\frac *\frac * \frac = \frac
p=k+1k
∗k+
2k+1
∗k+
3k+2
∗n−
1n−2
∗nn
−1=
nk
2,索引為m的元素，m>k,在處理前不在前k個元素，所以它被抽中必須要滿足處理到它時的計算出的index值小於等於k，這樣m元素就被交換到了前k個，且在處理後面的元素是，m元素沒被交換出去。
p =k
m∗mm
+1∗m
+1m+
2∗n−
2n−1
∗n−1
n=kn
p = \frac *\frac *\frac *\frac * \frac = \frac
p=mk∗
m+1m
∗m+
2m+1
∗n−
1n−2
∗nn
−1=
nk證的，n中某個任意元素經過這個操作，位置在k前個的概率等於，n個元素取出k個元素，某個元素被抽中的概率。
#include #include using namespace std;
const int n = 1000;
const int k = 100;
int main(int argc, char *ar**)
for(int i=k;i}
for(int i=0;ireturn 0;
}
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